Développer une expression, c'est chercher à obtenir une écriture sans parenthèses. Pour cela, on peut avoir recours aux identités remarquables.

a (b + c) = ab + ac (vrai pour tous nombres a, b, c)

5(x + 9) = 5x + 45

La factorisation est le contraire du développement : c'est écrire une expression sous la forme d'un produit de facteurs. Les identités remarquables sont là aussi d'une grande utilité.

ab - ac = a (b-c)

6x - 18x = 6 (x -3)

De plus, pour factoriser une expression écrite sous la forme d'une somme de plusieurs termes, on peut commencer par identifier un facteur commun à tous les termes.

A=(2x + 3)(x - 1) + (x² - 1)(x + 3)

=(2x + 3)(x - 1) + (x + 1)(x – 1)(x + 3)

=(x – 1) ((2x + 3) + (x + 1)(x + 3))

(a - b) ² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a + b)(a - b)

Définition :
b etant un nombre quelconque et n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2, la puissance n-ième de b est le nombre bn défini par:

bⁿ = b x b...... x b (n facteurs)

exemple:
2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

(a + b)³ = (a + b) x (a + b) x (a + b)

remarques :

• quel que soit le nombre b, b¹ = b ;
• quel que soit le nombre b non nul, b⁰ = 1.
• Si n est un nombre entier strictement positif et b un nombre non nul:
  a^-n = 1/aⁿ et notamment a^-1 = 1/a
  
  

Règles de calcul sur les puissances entières

soit a et b deux réels non nuls, n et p deux entiers naturels, on a :

• aⁿ x a^p = a^(n+p)
• aⁿ / a^p = a^{(n - p)}
• (aⁿ)^p = a^{(n x p)}
• (ab)ⁿ = aⁿ x bⁿ
• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

IMPORTANT :

tout nombre positif b peut s'écrire sous la forme b = a x 10^p, où a est un nombre vérifiant 1 <= a < 10 et p est un nombre entier relatif.

Cette notation s'appelle la notation scientifique

définition : a désignant un nombre positif ou nul, il existe un nombre x positif ou nul tel que x² = a . x est appelé racine carrée de a, et on note Va .

Remarque : on peut alors écrire pour tout nombre a positif ou nul : (Va)² = a

Exemple : (V7)² = 7

Calcul avec les radicaux

a et b étant 2 nombres positifs, on a :
Vab = Va x Vb
V(a / b) = Va / Vb, si b est différent de 0.

A étant un nombre positif, n un entier, on a :
(Va)ⁿ = V(aⁿ)

Définition : soit a un nombre non nul, et b un nombre quelconque.

On appelle équation du premier degré à une inconnue une équation qui peut s’écrire sous la forme : ax + b = 0

remarque : un nombre x0 est solution de cette équation si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’égalité ax0 + b = 0 est vraie. Résoudre l’équation, c’est donc trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.

3 cas peuvent se présenter :
On a ax + b = 0 :

• si a différent de 0, alors l’équation a une solution unique qui est : - b / a.
• si a = 0.Si b est différent de 0, alors l’équation n’ a aucune solution .
• si b = 0, alors tout nombre de l'ensemble réel R est solution.

Signe de ax + b
L’expression ax + b où a est un nombre non nul et b un nombre quelconque :

• s’annule pour x = -a / b
• est du signe de a pour a > -b / a
• est du signe de (-a) pour x < -b /a

Résolution d’une équation du premier degré

Définition : on appelle inéquation du premier degré à une inconnue x une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des 4 formes suivantes :

• ax + b <=0
• ax + b < 0
• ax + b >= 0
• ax + b > 0

remarque : un nombre x0 est une soulution de l’inéquation ax + b > 0 si, lorsque nous remplaçons x par x0, l’inégalité ax0 + b > 0 est vraie. Résoudre l’inéquation ax + b > 0, c’est trouver l’ensemble des nombres qui sont solutions.

Equations du type (ax + b) (cx + d)

Remarque préliminaire : AB = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

D’après la remarque précédente, pour résoudre l’équation (2x + 10)(x – 3 ) = 0, il faut résoudre chacune des équations 2x + 10 = 0 et x – 3 = 0. Les solutions de cette équation sont donc x = 3 et x = -5.

Equation du type x² = a

a étant un réel strictement positif donné, l’équation x² = a admet 2 solutions qui sont :

• Va
• -Va

démonstration : x² = a óx² - (Va)² = 0 ó (x – Va)(x + Va) = 0 (identités remarquables)