Inégalités, inéquations et approximations

1 Rappels introductifs
2 Les inégalités
3 Les intervalles

4 Les approximations
5 Approximations par excès, défaut et troncature

1 Rappels introductifs		retour
Remarques préliminaires sur les inégalités Lorsque l’on ajoute deux inégalités dans le même sens, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes. Si a £ b et c £ d alors (a + c) £ (b + d) Lorsque l’on multiplie membre à membre deux inégalités de même sens et dont les termes sont positifs, on obtient une inégalité de même sens que les deux précédentes Si a , b, c et d positifs et a £ b et c £ d alors ac £ bd Rappel sur le signe d’un produit et d’un quotient PRODUITS : Si deux expressions sont de même signe, leur produit est positif Si deux expressions sont de signes contraires, leur produit est négatif QUOTIENTS : Si deux expressions sont de même signe, leur quotient est positif Si deux expressions sont de signes contraires, leur quotient est négatif Aide-mémoire : " + " x " + " = " + " " + " x " - " = " - " " - " x " - " = " + "
2 Les inégalités		retour
CARRES Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. a ³ 0 et b ³ 0, si a £ b alors a² £ b² remarque importante : soit a un nombre strictement positif. si a > 1, alors a² > a si a < 1, alors a² < a RACINE CARREE Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées. a ³ 0 et b ³ 0, si a £ b alors Va £ Vb INVERSE Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses. a > 0 et b > 0, si a < b alors 1/a > 1/b
3 Les intervalles		retour
Soit a et b deux réels tels que a < b. L'intervalle [a ; b] représente l'ensemble des réels x tels que a £ x £ b (intervalle fermé ) L'intervalle ]a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a < x < b (intervalle ouvert) L'intervalle [a ; b[ représente l'ensemble des réels x tels que a £ x < b (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé) Remarque : Un intervalle peut être semi-ouvert ou semi-fermé à droite ou à gauche. Les intervalles illimités soit b et c des réels quelconques L’intervalle [b ; +¥[ représente l’ensemble des réels tels que x ³ b L’intervalle [-¥ ; c[ représente l’ensemble des réels tels que x £ c L’intervalle ]-¥ ; +¥[ représente l’ensemble des réels A noter : R+ représente l’intervalle [0 ; +¥[ R- représente l’intervalle ]-¥, 0] R représente l’intervalle ]-¥ ; +¥[
4 Les approximations		retour
Définition : Soit x un nombre quelconque." Encadrer " x, c’est trouver deux réles a et b, avec a<b, tels que l’on ait a £ x £ b. Le nombre (b – a) est appelé l’amplitude de cet encadrement. Vocabulaire : Si x £ a, on dit que x est majoré par a ( on parle aussi du majorant de x) Si x ³ b on dit que x est minoré par b ( on parle aussi du minorant de x)
5 Approximations par excès, défaut et troncature		retour
Approximation par excès Soit a un réel strictement positif, x et E deux réels quelconques. On dit que E est une approximation par excès de x "à a près" si on a : E - a £ x £ E Approximation par défaut Soit b un réel strictement positif, x et D deux réles quelconques. On dit que D est une approximation par défaut de x à " b près " si on a : D £ x £ D + b Approximation par troncature Tronquer un réel à n décimales près consiste à l’approcher par défaut à 10^-n près.