Une fonction trinôme est de la forme suivante f(x)= ax² +bx+c , a réel non nul, b et c réels. Toute fonction trinôme du second degré peut s'écrire sous la forme canonique: celle-ci servira pour déterminer les racines du trinôme.

ATTENTION!!!

Il ne faut pas retenir par cœur cette formule; seule la méthode est essentielle à maîtriser. Aussi on aura remarqué que D = b² -4ac est le discriminant de f.

Il s'agit de résoudre l'équation ax² +bx+c =0.

Pour cela, il convient de raisonner dans l'ordre :

• On vérifie d'abord s'il s'agit ou non d'une identité remarquable.
  
  Exemple:
  
  Résoudre x² -6x +9 =0
  or x² -6x +9 = (x-3)²
  donc x² -6x +9 =0 équivaut à (x-3)² =0 soit x=3
  3 est donc racine double de ce trinôme.
  
  
• On vérifie ensuite si le trinôme n'admet pas de racines simples (souvent -2, -1, 0, 1, 2 ), puis on factorise.
  Ainsi on trouve facilement la seconde racine du trinôme.
  
  
• Si on ne trouve rien, on utilise le signe du discriminant :
  • si D < 0, le trinôme n'a pas de racines réelles.
  • si D = 0, le trinôme admet une racine unique (dite racine double ) : - b/2a.
  • si D > 0, le trinôme admet deux racines réelles distinctes:
    

REMARQUE : On notera que lorsque a et c sont de signes contraires, le discriminant D est strictement positif (puisque ac <0 implique b² -4ac > 0) : le trinôme admet alors deux racines distinctes.

Il est souvent plus facile d'utiliser le discriminant réduit lorsque b est un nombre pair.

Soit f(x)= ax² +bx+c Résoudre f(x) = 0.

Comme b est pair, il existe un réel b' tel que b =2b'.

Notons D' le discriminant réduit: D'= b' - ac On applique alors les mêmes règles qu'avec :

• si D' < 0, le trinôme n'admet pas de racines réelles
• si D' = 0, le trinôme admet une racine unique x = -b'/2a
• si D' > 0, le trinôme admet deus racines réelles distinctes:
  

Résultat important à connaître :

si D>0 ou D=0, c'est-à-dire si le trinôme admet deux racines distinctes ou confondues, leur somme et leur produit sont donnés par :

S= - b/a et P = c/a

ATTENTION : La connaissance d'une des deux racines d'un trinôme permet de déterminer l'autre racine sans passer par les formules du discriminant : en effet, il suffit d'utiliser l'expression de P ou de S.

Rappel : Sur la fonction f(x)= ax²

a>0	a<0
parabole tournée vers le haut minimum absolu : O sommet : O	parabole tournée vers le bas maximum absolu : O sommet : O

 

Par un changement d'indice, on obtient l'équation Y = a X².
D'après le rappel, le sommet de cette parabole est l'origine du nouveau repère ,c'est-à-dire
O'(0, 0 ), i.e. X=0 et Y =0.

Conclusion: La courbe représentative de la fonction f(x)= a x² + b x + c ( où a est non nul ) est la parabole d'équation Y = a X² dans le repère ( O', i, j ) avec

ATTENTION !!! Le point O' de la parabole joue un rôle privilégié:

• c'est le sommet de la parabole.
• il correspond à un extremum de la fonction f.
• pour tout réel x, ax² + b x + c est du signe de a sauf entre les racines (sous-entendu, la fonction admet deux racines réelles distinctes).

La résolution de f(x) < 0 est immédiate compte tenu des résultats du tableau.

Ce sont les équations de la forme a + b x² +c = 0.

Il suffit d'effectuer le changement de variable X= x²

On n'a plus qu'à résoudre l'équation du second degré : a X² +b X +c = 0 selon les méthodes habituelles.

Remarque : si on pose f(x)= a+bx+c, il est clair que f(-x)= f(x ) pour tout x et donc que si f est racine de f , (-x) est aussi racine de f.

Il s'agit des équations du type f(x) = g(x) où f et g sont des polynômes.

Cela revient à résoudre f(x) - g(x) = 0. Pour cela, on nomme P = f - g. On factorise P et on obtient P1(x).P2(x)...Pn(x) = 0
avec degré Pi £ degré P

Puis on résout Pi(x) = 0.

NB : Pour résoudre une inéquation entière, c'est-à-dire P<0 ou P>0, on factorise P et on étudie le signe de chacun de ses facteurs. Enfin, on rassemble les résultats dans un tableau.