Translations et homothéties

1 Translations et rotations
2 Symétrie orthogonale
3 Symétrie centrale
4 Caractéristiques des transformations
4.1 Le parallélisme

   4.2 L'alignement
   4.3 Les distances et les aires
   4.4 Le milieu d'un segment
   4.5 L'orthogonalité

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1 Translations et rotations		retour
Définition 2 : O est point fixe. L' image d'un point M distinct de O par la rotation de centre O et d'angle d dans le sens de la flèche est le point M' tel que : OM' = OM et MOM'= d. L' image du point O est le point O lui-même.
2 Symétrie orthogonale		retour
Définition : soit (d) une droite. On désigne par symétrie d'axe symétrie orthogonale par rapport à (d), la transformation permettant de passer d'un point M du plan à un unique point M' de ce même plan, et définie de la manière suivante : M = M'. (d) est la médiatrice du segment [MM'], si M n'appartient pas à (d). si M appartient à (d), alors on a M = M'. Remarque : on appelle également cette transformation réflexion par rapport à (d). Propriétés : par une réflexion, l'image d'une droite (d) est une droite par une réflexion, l'image d'un segment est un segment de même longueur. Par une réflexion, l'image d'un cercle (C) de centre O est un cercle (C') de même rayon et dont le centre O' est le symétrique orthogonal (cf plus bas) de O. Remarque : si l'on sait que deux droites sécantes sont symétriques par rapport à une droite (d), alors leur point d'intersection appartient à la droite (d). Remarque à propos des figures géométriques : si une droite (d) est axe de symétrie d'une figure F, alors l'image de F par la réflexion d'axe (d) est la figure F elle-même. (Attention : l'ordre des lettres change) Exemples : les deux diagonales d'un carré sont axes de symétrie de celui-ci. n'importe quels diamètres d'un cercle est axe de symétrie de celui-ci.
3 Symétrie centrale		retour
Définition : soit O un point du plan. On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation qui à tout point M du plan, associe l'unique point M' du plan tel que O soit le milieu de [MM']. Propriétés : par une symétrie centrale, l'image d'une droite est une droite parallèle. par une symétrie centrale, l'image d'un cercle (C) de centre O est un cercle de même rayon et dont le centre est l'image de O. Propriété : la symétrie centrale préserve les longueurs.
4 Caractéristiques des transformations		retour
La réflexion, la symétrie centrale, la translation et la rotation sont des transformations qui conservent :
4.1 Le parallélisme		retour
Lorsque (d) et (D) sont deux droites parallèles, leurs images respectives (d') et (D') sont aussi parallèles.
4.2 L'alignement		retour
Comme l'image d'une droite est une droite : si trois A, B et C sont alignés, leurs images respectives A', B' et C' sont elles aussi alignées.
4.3 Les distances et les aires		retour
L' image d'un segment est un segment de même longueur. L' image F' d'un e figure F a la même aire que F.
4.4 Le milieu d'un segment		retour
Soit G le milieu d'un segment [AB]. On note [A'B'] l'image de [AB], et G' l'image de G. G' est alors le milieu de [A'B'].
4.5 L'orthogonalité		retour
Soit (d) et (D) deux droites perpendiculaires. Ainsi, leur images respectives (d') et (D') sont également perpendiculaires.