Exercice 1
Soit f la fonction définie sur ]0,+l’infini[ F(x)=(racine (x²+1)-1)/x On se propose d’étudier les limites de f en + et en +l’infini de différentes façons.

1) Montrer que, pour tout x>0 a) 0 b) 1-1/x
Quelles sont ces inégalités à démontrer ? !

2) Représenter graphiquement dans un même repère pour x appartient ]0, + l’infini[ ,la courbe d’équation y=1-1/x et les droites d’équation y=x et y=1. Hachurer la partie du plan dans laquelle va se trouver la courbe représentant f.

3) A l’aide des inégalité du 1), calculer lim f(x) et lim f(x). x-->0 x--> + l’infini

4) Retrouver les résultats obtenus dans la question précédente en écrivant au préalable f(x) sous la forme : f(x)=[(racine de (x²+1)-1)(racine de(x²+1)+1)/x(racine de (x²+1)+1).

Donc, on obtient : f(x)=[(racine de (x²+1)-1)(racine de(x²+1)+1)/x(racine de (x²+1)+1).
Soit f(x)=x/((racine(x²+1)+1)
On factorise par x au sein de la racine, on obtient :
f(x)=x/(x(rac(1+1/x²)+1)=1/(rac(1+1/x²)+1/x)). Donc, de façon évidente, limf(x) qd x tend vers infini=1

Limite en 0+
On repart de l’égalité f(x)=1/(rac(1+1/x²)+1/x)). Comme lim 1/x²=lim1/x=+infini, on a limf(x)=0

Exercice 2
On considère les fonctions f1, f2 et f3 définies respectivement sur [0,+l’infini[ par f1(x)=1/x+1 f2(x)=1/racine de (x+1) et f3(x)=1/(x+1)². On appelle (C1), (C2) et (C3) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal (O, vect i, vect j).

1) a) Determiner le sens de variation de chacune des ces fonctions.
f1’(x)=-1/(x+1)², donc sur [0,+l’infini[, on a une fonction décroissante.
f2’(x)=-1(2(x+1)rac(x+1)), donc sur [0,+l’infini[, on a une fonction décroissante.
f3’(x)=-2/(x+1)^3 , donc sur [0,+l’infini[, on a une fonction décroissante.

b) calculer les limites de f1, f2 et f3 en + l’infini.
lim f1(x)=limf2(x)=limf3(x)=0 en + infini.

c) Etudier les positions relatives de (C1), (C2) et (C3).
On étudie le signe des différences :
D1=f1(x)-f2(x)=(1-rac(x+1))/(x+1)
D1 est toujours négatif pour x de [0,+l’infini[. On a donc f1(x)<f2(x), soit C1 en dessous de C2

Effectuons maintenant la différence D2=f2(x)-f3(x)=(rac(x+1)(x+1)-1)/(1+x)²
D2 est toujours positif, on a donc f2>f3, on a donc C2 au dessus de C3.

Effectuons maintenant la différence :
D3=f1(x)-f3(x)=x/(x+1)². Cette différence est donc positive. Donc C1 est au dessus de C3

On a donc dans l’ordre ( du plus petit au plus grand) : C3, C1, C2

d) Tracer les courbes (C1), (C2) et (C3).

2) x désignant un nombre réel positif, on appelle M, M1 M2 et M3 les points d’abscisse x situé respectivement sur l’axe (O, vect i) , et les courbes (C1), (C2) et (C3). On désigne par a1(x), a2(x) et a3(x) les aires respectives des triangles OMM1, OMM2, et OMM3.

a) vérifier que a1(x)=x/2x+2.
a1(x)=x*f1(x)/2=x/(2x+2)

b) Exprimer de même a2(x) et a3(x).
De même, a2(x)=x*f2(x)/2=x*(2V(x+1))
De même, a3(x)=x*/(2(x+1)²)

c) Calculer les limites de a1(x), a2(x) et a3(x) lorsque x tend vers + l’infini.
On peut maintenant passer à l’étude des limites :
lim a1(x)=1/2
lim a2(x)=+infini
lim a3(x)=0

Exercice 3

1) résoudre dans R l’équation : cos (x-(pi/4))= sin(3x+(pi/4)). Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux solutions.
On obtient donc cos (x-(pi/4))= cos ( pi/2-3x-pi/4)=cos(pi/4-3x)
Soit, cos (x-(pi/4))=cos(pi/4-3x)
Donc, ceci se transforme en 2 équations :
x-pi/4=pi/4-3x +k 2pi ou pi/4-x=pi/4-3x+k 2pi
Soit :
4x=2pi/4 +k 2pi ou 2x=0+k 2pi
x=pi/8 +kpi/2 (1) ou x=kpi (2)

Solutions de (1) : x=pi/8, x=5pi/8, x=9pi/8, x=13pi/8
Solutions de (2) : x=0 ou x =pi
Toutes les solutions sont données modulo 2pi.

2)Résoudre dans ]-pi,pi] l’inéquation 2cos2x>ou égal à 1 Faire apparaître sur le cercle trigonométrique l’ensemble des points représentant les solutions.

Cela donne cos2x>=1/2
Donc 2cos²x-1>=1/2, soit cos²x>=3/4
Donc soit cos x>=V3/2 (1)ou cos x<=-V3/2 (2)
Donc (1) donne x dans (pi/6, 5pi/6) et (2) donne (7pi/6; 11pi/6)