a) Exprimer BF, BE, et BG (ce sont des vecteurs), uniquement à l’aide des
vecteurs BA et BC.
BF=BC+CF=BC+5.CA=BC+5.(CB+BA)=
-4.BC+5.BA (les vecteurs sont en italique)
BE=DB=DA+AB=CB+AB= -BC-BA
BG=3.AB= -3.BA
b) Montrer que les points G, E, et F sont alignés.
On peut montrer pour cela que GE et GF sont colinéaires :
GE=GB+BE= -BG+BE= 3.BA-BC-BA=2.BA-BC
GF=GB+BF = -BG+BF = 3.BA-4.BC+5.BA=8.BA-4.BC=4.GE
CQFD
c) Montrer que B est le barycentre de (G, 5), (C, 12), (F, 3).
Il suffit de calculer 5.BG+12.BC+3.BF et montrer que c’est le vecteur nul.
d) Montrer que vecteur CH = 5/17 de vecteur CG.
Soit I le barycentre de (G,5) et (C,12). On a alors :
B barycentre de (F,3), (I,17)
Comme I est un barycentre du couple (G,C), alors I appartient à (GC).
Comme B est un barycentre du couple (F,I), alors B appartient à (FI),
donc I appartient à (BF).
Donc I est l’interscetion de (BF) et (CG), c’est à dire H.
H est donc le barycentre de (G,5) et (C,12), c’est à dire, pour tout
M du plan :
5.MG+12.MC=17.MH. On prend M=C :
5.MC+0=17.CH
Soit CH=5/17.MC
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