Bonsoir,

1)

fa(x)=(x^2+(a+1)x+2a)/(x+1)

fa’(x)=[ ( 2x+(a+1) ) (x+1) - (x^2+(a+1)x+2a) ] / (x+1)²

fa’(x)=[2x²+2x+(a+1)x+(a+1) - x² - (a+1)x -2a ] /(x+1)²

fa’(x)=[x²+2x - a +1] /(x+1)²

Le signe de fa’(x) est le signe de x²+2x - a +1.

DELTA=4-4(-a+1)=4a>0 car a>0.

2 racines:

x1=(-2+V(4a) )/2 ; x2=(-2-V(4a) )/2.

f est croissante sur I - infini , x2 I U I x1, + infini I

Aa ( (-2+V(4a) )/2 , fa(x1) ) ; Ba ( (-2-V(4a) )/2, fa(x2) )

2)

Pour démontrer que (Ca) admet une asymptote oblique (Da),d’équation y=x+a on calcule f(x) - (x+a):

f(x)-(x+a) = (x^2+(a+1)x+2a)/(x+1) -x-a

f(x)-(x+a)=(x²+ax+x+2a-x²-ax-x-a)/(x+1)
f(x)-(x+a)=a/(x+1)

lim ( f(x)-(x+a))=0
x-->+infini

lim ( f(x)-(x+a))=0
x-->-infini

On en déduit que Ca admet une asymptote d’équation y=x+a.

Position de (Ca) par rapport à (Da):

f(x)-(x+a)=a/(x+1).

Si x>-1 alors Ca est au dessus de Da.

Si x<-1 alors Ca est en dessous de Da.

3) Pour montrer que toutes les courbes Ca ont un point commun:

fa(x)=fb(x)

(x²+(a+1)x+2a)/(x+1)=(x²+(b+1)x+2b)/(x+1)

x²+(a+1)x+2a=x²+(b+1)x+2b

(a-b)x=2b-2a
x=(2b-2a)/(a-b)=-2

fa(-2)= ((-2)²+(a+1)(-2)+2a)/((-2)+1)
fa(-2)=(4-2a-2+2a)/(-1)
fa(-2)=2/(-1)=-2

Donc toutes les courbes passent par le point (-2,-2).

4- Construire dans le repere (o,i,j) les courbes (C2) et (C4) et étudier la position relative de (C2)et de (C4)

f2(x)-f4(x)=(x²+(2+1)x+4)/(x+1)-(x²+(4+1)x+8)/(x+1)
f2(x)-f4(x)=(x²+3x+4-x²-5x-8)/(x+1)
f2(x)-f4(x)=(-2x-4)/(x+1)

f2(x)-f4(x)>0 équivaut à -2x-4>0

c’est à dire -2x>4 équivaut à x<-2

f2(x)-f4(x)<0 équivaut à x>-2.

C2 est au dessus de C4 sur I -infini, -2 I et C2 est en dessous de C4 sur I -2 , + infini I.

A bientôt.

Bonne soirée.

François.