1) f est une fonction rationnelle. Elle est donc continue et dérivable sur son ensemble de définition. Ici, le dénominateur de f est toujours strictement positif, donc non nul.

Ainsi, Df=R et donc f est continue sur R.

On sait que si une fonction est continue sur un intervalle, elle admet une infinité de primitives. Donc f admet des primitives.

2) F est une primitive de f. On a donc :

Pour tout x de R, F'(x)=f(x)>0

F est donc strictement croissante sur R. Comme F(0)=0,

• pour tout x<0, F(x)<0
• pour tout x>0, F(x)>0

3)

On a , pour tout x de R, F'(-x) = 1/(1+(-x)²)

= 1/(1+x²)
= f(x)

 

On a alors F'(-x)=F'(x), pour tout x

F' est donc paire.

Soit g la fonction qui à x associe -x

Une primitive de F'og est -Fog

Une primitive de -F' est -F

On a alors F[(-x)]'=F'(x), pour tout x Û -F(-x)= F(x)+C, pour tout x Û F(-x)= -F(x)+C, pour tout x

Or F(0)=0=F(-0). Donc C=0 et F(-x)= -F(x), pour tout x

F est donc impaire

4) a) Soit h:x®tanx, pour xÎ]-p/2,p/2[

Pour xÎ]-p/2,p/2[, h(x)=sinx/cosx

Or on sait que (f/g)'=f'g-fg'/g²

On a donc h'(x)=[cosx.cosx-sinx.(-sinx)]/cos²x

Soit h'(x)=(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x

b) On a alors (Foh)'=h'.F'oh

Soit pour xÎ]-p/2,p/2[, [F(tanx)]'=(1/cos²x).(1/(1+tan²x))

=(1/cos²x).(1/(cos²x+sin²x)/cos²x)
= (1/cos²x).(1/1/cos²x)
= (1/cos²x).(cos²x)
=1

On a alors pour xÎ]-p/2,p/2[, [F(tanx)]=x+C, avec C dans R (on sait que la primitive de f(x)=k est F(x)=kx+c)

Or, pour x=0, on a tanx=0 et donc [F(tanx)]=0 (car F(0)=0 par hypothèse).

Donc [F(tanx)]=0=0+C

Donc C=0

Donc xÎ]-p/2,p/2[, [F(tanx)]=x

c) On a [F(tanp/4)]=p/4

Or tanp/4=1 (valeur connue)

Donc F(1)=p/4

On a [F(tanp/3)]=p/3

Or tanp/3=sinp/3/cosp/3=(Ö3/2)/(1/2)= Ö3 (valeurs connues)

Donc F(Ö3)=p/3

d) Foh est continue sur ]-p/2,p/2[ (produit de composition de fonctions continues sur cet intervalle).

Donc lim(x®p/2) [F(tanx)]=lim x(x®p/2) =p/2

Or lim(x®p/2) tanx= +¥

Donc lim(x®+¥) F(x)= p/2

De même,

lim(x®-p/2) [F(tanx)]=lim x(x®-p/2) =-p/2

Or lim(x®-p/2) tanx= -¥

Donc lim(x®-¥) F(x)= -p/2

Tracer la courbe est désormais très simple.... (asymptotes d'équations y= p/2 et y= -p/2, de plus on sait que la courbe admet une symétrie centrale de centre (0,0) et, enfin, on connaît deux points de la courbe)

5) a) Soit i : x®[(x-Ö3)/(1+xÖ3)], pour x¹-1/Ö3

On a, pour x¹-1/Ö3, i dérivable (car rationnelle) et

i'(x)=4/(1+xÖ3)²

b) On a alors

G'(x)=i'(x).F'(i(x))=4/(1+xÖ3)².1/(1+[(x-Ö3)/(1+xÖ3)]²)=4/[(1+xÖ3)²+(x-Ö3)²]=4/(4+4x²)=1/(1+x²)

On a donc G'(x)=F'(x) pour x ¹-1/Ö3

Donc, pour x ¹-1/Ö3, G(x)=F(x)+C, avec C réel

c) On a G(0)=F(-V3)=-F(V3)=-pi/3

Or F(0)=0 donc C=-pi/3

Donc lim(x®-¥) G(x)= im(x®-¥) F(x)-p/3=-5pi/6

lim(x®¥) G(x)= im(x®¥) F(x)-p/3=pi/6

d) On en conclut que la courbe de G est parallèle à celle de F (il suffit de la décaller de -pi/3)