calculer les primitives:
I(x)=intégrale de dx/((x+1)(x+1)(x*x+1))
Nous pouvons écrire le quotient :
1/(x+1)(x+1)(x²+1)=a/(x+1)+b/(x+1)+(cx+d)/(x²+1)
En identifiant terme à terme, nous obtenons le système :
- a+b+c=0
- a+b+2c+d=0
- a+b+c+2d=0
- a+b+d=1
Une fois ce système résolu, le calcul est simple :
- Une primitive de a/(x+1) est a.ln(x+1)
- Une primitive de (cx+d)/(x²+1) est c/2.ln(x²+1)+d.Arctanx
J(x)=intégrale de dx/(x*x+2x+5)
1/(x²+2x+5)=1/((x+1)²+4)=1/4.1/((x/2+1/2)²+1)
Effectuons un changement de variables en posant
On a alors intégrale de dx/(x*x+2x+5)=intégrale de 1/4.2du/(u²+1)
=1/2.intégrale de du/(u²+1)
=1/2.Arctan(x)
On a alors J(x)=1/2Arctanx
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