Tout d'abord, remarquons que cos²x = 1/2(cos2x+1)
On a alors f(x) = cos2x+1+sin2x
D'où f'(x)=-2sin2x +0+2cos2x = 2(cos2x-sin2x)
L'astuce est alors de se servir des formules d'addition :
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
On veut ici a=pi/4 et b=2x soit sin(pi/4-2x)=sin(pi/4)cos(2x)-sin(2x)cos(pi/4)
Or sin(pi/4)=cos(pi/4)=V2/2
Soit sin(pi/4-2x)=V2/2(cos2x-sin2x)et 2(cos2x-sin2x)=2V2sin(pi/4-2x)
On a bien f'(x)=2V2sin(pi/4-2x)
Remarque : la clé, dans tout exercice de trigonométrie, est de bien
maîtriser les formules, notamment les formules d'addition (toutes les autres
en découlent).
A bientôt,
La rédaction
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