f(x)=((x2+x+1)/x2)e(-1/x)

1- on pose Un=intégrale 1(en haut) 1/n (en bas)f(x) d(x).

Sans calculer explicitement Un, déterminer le signe de Un+1-Un.
Un+1-Un=intégrale de f(x) entre 1/(n+1) et 1/n. Comme (x²+x+1), x² et e(-1/x) sont tous positifs alors f est positive. De plus, comme 1/(n+1)<1/n, on en déduit que Un+1-Un >0

En déduire que la suite (Un) est croissante.
Donc Un+1>Un, (Un) est croissante

2- Démontrer que la fonction h, définie sur ]0, + infini[ par h(x)=(x+1)e(-1/x) est une primitivede f sur ]0, +infini[.
Il suffit de dériver h et d’essayer de retrouver f.
h’(x)=e(-1/x)+(x+1)*1/x²*e(-1/x)
h’(x)=(1+(x+1)/x²)*e(-1/x)
h’(x)=(x²+x+1)/x²*e(-1/x)=f(x), h est donc bien une primitive de f.

3- Calculer Un.
Interpréter graphiquement le résultat.
Donc Un=h(1)-h(1/n)=2e(-1)-(1/n+1)e(-n)

4- Etudier la convergence de la suite (Un).
lim (Un)=2/e quand n tend vers +infini

Si vous pouviez également me dire quelle est la dérivée de f(x) :
f’(x)=((x²+x+1/x²)’*e(-1/x))+((x²+x+1)/x²)*1/x²e(-1/x)=(-x+1)/x^4*e(-1/x)


et j’aimerais aussi vous posez une autre question: g(x)=f(x)-xf’(x)

1-montrer que les équations g(x)=o et x3+x2+2x-1=0 sont équivalentes.
f(x)-xf’(x)=(x^3+x²+x+x-11)/x^3 *e(-1/x)
Comme e(-1/x) >0, cette équation est équivalente à x3+x2+2x-1=0

2-démontrer que l’équation x3+x2+2x-1=0 admet une seule racine réelle dont on justifiera un encadrement à 10^(-2) près. je vous serais fort reconnaissante si vous répondez à toutes mes questions et je vous remercie beaucoup!

Il faut étudier la fonction A(x)=x3+x2+2x-1, soit A’(x)=3x²+2x+2
On calcule maintenant le discriminant de A’(x)
D=-20
Donc, A’(x)>0, A est croissante et part de -infini ( en -infini) vers + infini ( en +infini). Elle passe donc une fois et une fois seulement en 0 ( théorême de la bijection). La calculatrice donne une valeur approchée de cette racine.