a Vérifier que Vecteur BK= Vecteur IG /\ Vecteur IA.
On a : IG /\ IA = (IF+FG) /\ (IE+EA)
= IF/\ IE + IF/\EA + FG/\EA + FG/\IE
= 0 + 1/2. AB/\(-AE) + AD/\(-AE)+AD/\(-1/2)AB
= 0 +1/2 AD - AB +1/2 AE
= BK
b En déduire l’aire du triangle IGA.
On a également IG /\ IA = ||IG||.||IA||.sin(IG.IA).z, avec z un vecteur
unitaire normal au plan (IGA).
On a alors, comme l’aire de IGA est ||IG||.||IA||.sin(IG.IA), on a :
A(IGA).z= BK
Soit, en norme : A(IGA).||z|| = ||BK||
Soit, comme ||z||=1 :
A(IGA)=||BK||
||BK|| se calcule facilement avec le théorème de Pythagore (le
cube est de côté 1)
||AH||=V2, donc ||AK||=V2/2
||AB||²+||AK||²=||BK||²
Donc ||BK||²=1+1/2=3/2
Soit ||BK||=A(IGA)=V(3/2)
2 Donner une équation cartésienne du plan AI G dans le repère (A ; Vecteur
AB, Vecteur AD, Vecteur AE).
Une équation cartésienne d’un plan est du type : ax+by+z=0 (on
peut fixer arbitrairement c=1)
Ici, A(0,0,0), I(1/2,0,1) et G(1,1,1) appartiennent à AIG, donc on a
:
- a.0+b.0+0=0
- a/2+1=0
- a+b+1=0
Soit
Une équation de IGa est donc : -1/2x-1/2y+z=0
Impression facile
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