Soit G le barycentre de(B,b) et (C,c).

On a alors M barycentre de (A,a) et (G;b+c)

Soit a.MA+(b+c).MG=0 (les vecteurs sont en italique)

MA et MG sont donc colinéaires. comme ils ont un point commun, G appartient à (MA). De plus G appartient à (BC) (c’est le barycentre de (B,b) et (C,c)). Donc G est l’intersection de ces deux droites : G=A’.

Donc a.MA+(b+c).MA’=0

Soit a.MA=(b+c).A’M

Soit, en passant aux nnormes des vecteurs :

a.MA=(b+c).MA’

Soit enfin :

MA/MA’=(b+c)/a

2) De même qu’au 1, on montre aisément que MB/MB’=(a+c)/b et que MC/MC’=(a+b)/c

Soit :

S = (b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c

Soit enfin :

S=b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c

=(b/a+a/b)+(c/b+b/c)+(a/c)+(c/a)

3) f est continue et dérivable sur R+* et :

Pour tout x de R+*, f’(x)=1-1/x²

f’ est donc négative sur ]0,1] et positive sur [1,+oo[

Donc f est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+oo[.

f admet donc un minimum en x=1.

4) On a S=f(b/a)+f(c/b)+f(a/c)

S atteint donc sa valeur minimale si on peut avoir b/a=c/b=a/c=1

Or b/a=1 Û a=b

c/b=1 Û c=b

a/c=1 Û a=c

Soit b/a=c/b=a/c=1 Û a=b=c

S est minimum si et seulement si a=b=c

5) On en conclut que S est minimum si et seulement si M est l’isobarycentre de A,B et C, c’est à dire si et seulement si M est le centre de gravité de ABC.