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Combinatoire, dénombrement |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Terminale |
S |
| Chapitre |
Combinatoire, dénombrement
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| Prestation |
Résolution d' un problème complet ou d'un devoir maison (plus de 16 questions et/ou sous questions) |
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| Enoncé |
Exercice 1
Les trois question de cet exercice sont indépendantes.
Une urne contient contient six boules numérotées de 1 à 6.
1 On tire successivement trois boules de l’urne , sans remise.
a) Combient y a t il de tirage tels que la troisième boule tirée porte le numéro 2 ?
b) Combient y a t il de tirage tels que la troisième boule tirée porte un numéro pair ?
2 Une boite comporte six compartiments numérotés de 1 à 6.On place les 6 boules au harsard , une par compartiment.
a) Combien y a t’il de rangements possibles des 6 boules dans les 6 compartiments ?(Il ne rentre qu’une seule boule par compartiment).
b) Combien de tirages sont tels que quatre boules au moins soient dans un compartiment ayant le même numéro que la boule ?
Exercice 2
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.on en prélève n successivement avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux évènements suivants :
A : On obtient des boules des deux couleurs
B : On obtient au plus une blanche
On note p(X) la probabilité d’un évènement X.
1
a) calculer la probabilité de l’évènement : toutes les boules tirées sont de même couleur.
Indication : La probabilité d’un tel evenement est le quotient du nombre de tirage où les boules sont de la même couleur par le nombre total de tirages possibles.
b) Calculer la probabilité de l’évènement :on obtient exactement une boule blanche
Indication : La probabilité d’un tel évènement est le quotient du nombre de tirages avec exactement une boule blanche par le nombre total de tirages possibles.
c) e n déduire que les probabilités p(A∩ B ) , p(A) , p(B) sont :
d) p(A∩B) =n/2^n,p(A)=1-(1/2^(n-1)) et p(B) =(n+1)/2^n
Indication : si X et Y sont deux évènements complémentaires,p(X)=1-p(Y)
2 Montrer que p(A∩B=P(A)p(B) si et seulement si 2^(n-1)=n+1
3 soit(Un) la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par Un=2^(n-1)-(n+1)
Calculer U2 U3 U4
Démontrer que la suite (Un) est strictement croissante.
4 En déduire la valeur de l’entier n tel que p( A∩B)=p(A)p(B)
On parle en ce cas d’évènements indépendants
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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EXERCICE 1
1)a) Tu as placé la boule n°2 à la troisième place.
Il te reste 5 chois pour la premiere boule et quatre pour la deuxième, soit 5*4 possibilités ou encore un arrangement de 2 boules parmi 5.
b) Il y a trois boule paires. Multiplie par 3 le résultat précédent.
2) a) C’est une permutation de 6 boules.
b) Tu peux avoir ou 4 ou 5 ou 6 boules à la
bonne place.
Pour 4 boules, tu dois choisir les quatre boules
parmi les six, c’est une combinaison de 4 objets
parmi 6. Multiplie ce nombre par le nombre de
permutations des deux dernières soit 2!.
Raisonne de même pour 5 et 6 boules.
Exercice 2
1. a) Soit C l’événement : « Toutes les boules
tirées sont de la même couleur ».
C est réalisé lorsque les boules tirées sont :
soit toutes noires ; soit toutes blanches.
La probabilité de tirer une boule blanche au cours d’un tirage est égale à 5/10 , c’est-à-dire 1/2. La probabilité de tirer une boule noire est aussi égale à 1/2 puisque l’urne contient 10 boules dont 5 noires.
Les n tirages s’effectuant de façon indépendante (puisqu’ils sont effectués avec remise), la probabilité de tirer n boules blanches est égale à (1/2)^n et celle de tirer n boules noires est aussi égale à (1/2)^n.
Les événements « Toutes les boules tirées sont noires » et « Toutes les boules tirées sont blanches » sont incompatibles. On en déduit que :
p(C)=(1/2)^n+(1/2)^n
b) Soit D l’événement « On obtient exactement une boule blanche ».
La probabilité de tirer une boule blanche au cours d’un tirage est égale à 1/2 et celle de tirer n - 1 boules noires au cours de n - 1 tirages est (1/2)^(n-1) .
Or il y a n tirages, donc il y a n façons de tirer la boule blanche.
Par conséquent, on a p(D)=n*(1/2)^n
c) A inter B est l’événement « On obtient des boules des deux couleurs et au plus une est blanche », autrement dit, « On obtient une boule blanche et les autres boules sont noires » car si l’on ne tire pas de boule blanche, toutes les boules tirées sont noires et les boules tirées ne sont alors pas des deux couleurs.
On en déduit que A interB = D, et par suite que
p(A inter B) = p (D)
L’événement contraire de A est C : « On obtient des boules de même couleur ».
Par conséquent, p(A) = 1 - p(C)
B est réalisé lorsque l’on a :
soit tiré n boules noires ; soit tiré 1 boule blanche et n - 1 boules noires.
2) Résous l’équation p(A inter B)=p(A)*p(B).
3) Démontre que :
u(n+1)-u(n)=2^(n-1)-1, puis que cette différence est positive.
4) Puisque (un) est strictement croissante, on en déduit que si n > 3, alors un > 0 et u2 < 0 donc un = 0 si, et seulement si, n = 3.
Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si, on effectue trois prélèvements successifs d’une boule dans l’urne.
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