Ex 1 :

1) a) b1=1982; b8=247; b1982=1

b) On a par définition 1982 = 8. b8 + r avec r<8

Soit 1982 >= 8. b8

Ainsi, b<=b8 si et seulement si 1982 >= 8.b

b>b9 Û 9b>9.b9>= 1982 Û 9b>1982

c) S8={b dans IN; 1982=b.8+r avec r<b}

Soit 1982>=b.8 et 1982<b.9

Soit b<=b8 et b>b9

CQFD

On a b9=220 et b8=247

Donc S8={221,222,...,247}

Donc card(S8)=247-221+1=27

2) a) De même, a=b.q + r avec r<b est équivalent à :

bq<=a<b(q+1)

Soit b<=bq et b>b(q+1)

Soit bq+1<b<=bq

b) Les ensembles Sq sont disjoints (b ne peut pas, par construction, être dans deux bi différents).

Donc somme(card(Sq))=card (U(Sq)) =card ({b dans IN, b(a+1)<b<=b1})=card({1,2,..., a})=a

Ex 2 :

3a) ???

3b) AC est un diamètre du cercle. Donc, comme I est un point du cercle, AIC est rectangle en I.

Ex 3 :

1a) r(N)=P donc r([AN])=[BP]

r(P)=Q, donc r(BP)=[CQ]

F est l’intersection de AN et BP, donc r(F) est l’intersection de BP et QC, c’est à dire G

On va alors montrer de même que r(G)=H, r(H)=E.

On aura alors HF et EG perpendiculaires, et OF=OG=OH=OE. EFGH est alors un quadrilataire dont les diagnolaes sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : c’est un carré.

2a) La rotation est une isométrie : elle conserve les distances. comme r(AE)=FB on a AE=FB.

De même, GC=HD=AE=FB

De plus, on montre aisément que AED est rectangle en E et que AE // QH. Comme Q est le milieu de AD, H est le milieu de ED, donc HD=EH.

CQFD

b) on conclue avec Pythagore, qui nous donne assez facilement la valeur de EF.