|
Dérivation |
 Impression facile
|
| Matière |
Niveau |
Section |
|
2Maths |
Première |
S |
| Chapitre |
Dérivation
|
| Prestation |
Résolution d' un exercice complet ( 4-5 questions ou sous-questions) |
|
|
| Enoncé |
Dans un repère choisi, on note d la droite d’équation x - y + 2 = 0 et A le point d’abscisse 1 de cette droite. On se propose de déterminer toutes les paraboles P d’équations y = ax^2 + bx +c, a # 0, qui sont tangentes à d en A.
1. Démontrez que chacune de ces paraboles a une équation de la forme y = a(x - 1)^2 + x + 2, a réel non nul.
2. x0 et y0 sont les cordonnées du sommet d’une parabole P. Trouvez entre x0 et y0 une relation qui ne contient pas a et montrez que les sommets des paraboles P sont sur une courbe fixe dont vous donnerez une équation.
|
|
|
Réponse de notre équipe pédagogique :
|
1.
Démontrez que chacune de ces paraboles a une équation de la forme y = a(x -
1)^2 + x + 2, a réel non nul.
Ces paraboles admettent d pour tangente en A avec d de coefficient directeur
de 1.
Donc si f(x)=ax^2 + bx +c alors f’(x)=2ax+b, donc f’(1)=2a+b=1, soit b=1-2a.
De plus, la parabole passe par A(1,3) donc 3=a+b+c, soit c=3-a-b=3-a-1+2a=2+a
Il suffit maintenant de remplacer :
y=ax²+(1-2a)x+2+a
y=ax²+x-2ax+2+a
y=a(x²-2x+1)+x+2
y=a(x-1)²+x+2
2. x0 et y0 sont les cordonnées du sommet d’une parabole P.
Trouvez entre x0 et y0 une relation qui ne contient pas a et montrez que les
sommets des paraboles P sont sur une courbe fixe dont vous donnerez une équation.
Soit f(x)=a(x-1)²+x+2 , soit f’(x)=2a(x-1)+1
Donc on a f’(x0)=0, soit 2a(x0-1)+1=0, soit a=-1/(2x0-2)
Et d’autre part : y0=a(x0-1)²+x0+2
On remplace maintenant par a=-1/(2x0-2)
Soit y0=-(x0-1)²/(2x0-2)+x0+2
Soit y0=(x0²+4x0-5)/(2x0-2)
Ainsi, on obtient une parabole fixe, sachant que les x0 varient puisqu’ils dépendent
de a.
A bientôt et bon courage,
L’équipe de Keepschool
A bientôt et bon courage,
L’équipe de Keepschool
| | |
