On donne la fonction f définie sur D=R-{2} par: f(x)= (x²+x-2)/(x-2).

1) Montrer que pour tout x appartenant à D, f(x)= x+3+[4/(x-2)].
x+3+[4/(x-2)]=((x+3)(x-2) +4)/(x-2)=(x²+x-6+4)/(x-2)=(x²+x-2)/(x-2)

2) Dresser le tableau de varition de la fonction f.

Dans le polynôme x²+x-2, 1 et -2 sont les racines évidentes. Donc f(x)= (x-1)(x+2)/(x-2)
On dérive f’(x)=((2x+1)(x-2)-x²-x+2))/(x-2)²
Soit f’(x)=x(x-4)/(x-2)²
Soit f est croissante entre -infini et 0, puis elle décroît de 0 à 4 et enfin, elle croît de 4 à +infini.

3) Tracer les droites d1 d’équation y=x+3, d2 d’équation x=2, et la représentation graphique C de f.


4) Soit M le point de C d’abscisse x et P le point de d1. Exprimer PM(vecteur) en fonction de x.
Donc C(x, f(x)) et P(x, x+3). Donc vect PM ( 0, x+3-f(x)), soit vect PM (0, -4/(x-2))

5) calculer PM et en déduire la limite de PM lorsque x tend vers +l’infinie ou vers -l’infinie. Etudier le sens de PM(vecteur) sur chacun des intervalles ]-00;2[ et ]2;+00[; en déduire la position de C par rapport à d1 et d2.
Lorque x tend vers -infini ou +infini, vect PM tend vers le vecteur nul. Sur ]-00;2[ vect PM a un sens positif, donc la courbe est au dessus de la droite. L’inverse se produit sur ]2;+00[.