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Fonctions usuelles (ln, exp, fonctions trigo) |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Terminale |
S |
| Chapitre |
Fonctions usuelles (ln, exp, fonctions trigo)
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| Prestation |
Explication sur le cours, sur un théorême ou sur une démonstration |
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| Enoncé |
Soit f(x)=ln[u(x)] defini sur ]0,+oo[. Pour etudier les variations de f doit-on calculer f’ ou peut-on simplement dire que, comme ln est strictement croissante, f l’est aussi?
Peut-on ecrire lim(ax+b)=lim(x) qd x->oo avec a et b cte? |
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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1ère question:
Pour étudier les variations d’une fonction, ce n’est jamais une obligation de calculer sa dérivée.
On peut aussi utiliser des théorèmes de 1ère S:
par exemple : "si u est strict croissante (respectivement décroissante)sur un intervalle I et si v est strict croissante sur un intervalle J, avec u(I) inclus dans J, alors la fonction composée vou est strict croissante (respectivement décroissante)sur I".
Ainsi, pour f(x)=ln[u(x)], il n’y a pas que les variations de ln qui interviennent, celles de u aussi.
Si u est strict croissante (et u>0), alors f aussi.
Si u est strict décroissante (et u>0), alors f aussi.
Cela se retrouve avec la dérivée de lnu qui est u’/u. Comme u > 0 (sinon lnu n’est pas définie), le signe de f’ est celui de u’.
Quelle que soit la méthode, en dérivant f ou pas, il ne faut pas oublier de tenir compte des variations de u.
Deux exemples sans calculer f’(x) :
1) f(x) = ln(2x+1):
La fonction u définie par u(x)=2x+1 est strict croissante sur ]-1/2;+00[, avec u(x)>0.
La fonction ln est strict croissante sur ]0;+00[.
On en déduit que f est strictement croissante sur ]-1/2;+00[.
2) f(x) = ln(-2x+1):
La fonction u définie par u(x)=-2x+1 est strict décroissante sur ]-00;1/2[, avec u(x)>0.
La fonction ln est strict croissante sur ]0;+00[.
On en déduit que f est strictement décroissante sur ]-00;1/2[.
2ème question: pas toujours (il faut tenir compte du signe de a)
Un exemple qui ne marche pas : f(x)=-2x+3.
quand x tend vers +00 on a lim(-2x+3)=-00 alors que lim(x)=+00.
En fait la réponse est oui uniquement lorsque
a > 0.
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