1.Calculer la limite de f1 en plus l’infini.

Nous savons que lim(x-> -oo)x.exp(x)=0

La fonction qui à x associe -x² est continue sur R et admet -oo comme limite en +oo.

Comme la fonction qui à x associe x.expx est continue sur R, on a, d’après les théorèmes de composition de focntions continues :

lim(x-> +oo) -x².exp(-x²)=0

Or x.exp(-x²)=-x².exp(-x²)/-x

et lim(x->+oo) -x=-oo

On a alors lim(x-> +oo) x.exp(-x²)=0/-oo = 0

2. Déterminer la position de d par rapport à (C1).

Soit g la fonction qui à x associe x. Sa courbe représentative est d. Déterminer la position de d et C1 revient à calculer le signe de f1-g

On a, pour tout x de R,

f1(x)-g(x)=x.exp(-x²)-x

= x(exp(-x²)-1)

Or on sait que x² est positif, donc -x² négatif. Or exp(x) est inférieur à 1 quand x est négatif.

Donc, pour tout x de R, exp(-x²)-1<=0

Pour conclure, f1(x)-g(x) est négatif quand x est positif, positif quand x est négatif.

Donc C1 est au-dessus de d sur R- et au-dessous de d sur R+.

3. déterminer la position relative de (C1) par rapport à (C3).

Ceci revient à calculer le signe de f1-f3.

Pour tout x de R, on a :

f1(x)-f3(x)=x.exp(-x²)-x^3.exp(-x²)

= x.exp(-x²).(1-x²)

Résumons le signe des trois facteurs dans un tableau :

4. O n note (Cn) la courbe représentative de fn(x). Montrer que, pour tout entier n supérieur à 1, fn admet un maximum pour x=racine(n/2). On appelle Sn le point d’abscisse racine(n/2) de (Cn). Montrer que pour tout n, (Cn) passe par S2.

On a pour tout x de R, fn(x)= x^n exp(-x^2)

fn est continue et dérivable sur R avec, pour tout x :

fn’(x)=n.x^(n-1).exp(-x²)+x^n.(-2x).exp(-x²)

= x^(n-1).exp(-x²).[n-2x²]

Cas 1 : n est pair (et donc n-1 impair)

Cas 2 : n est impair (et donc n-1 pair)

Dans les deux cas, fn admet bien un maximum pour x=V(n/2)

Soit n=2. f2 admet un maximum au point S2 de coordonnées (V(2/2),exp(-1)) soit (1,1/e).

Or, pour tout n, on a fn(1)=1^n.exp(-1²)=1.exp(-1)=1/e

Donc pour tout n, Cn passe par S2.

J’espère que cette réponse vous satisfera.