Figure :

a) Construisons M1 (à la règle et au compas) :

O est le centre de la symétrie qui transforme P en P’. On a donc :

• O Î (PP’)
• OP=OP’

Donc O est le milieu de [PP’], qui peut se construire au compas à partir de P et P’

• on trace cercle de centre P et de rayon PP’ puis le cercle de centre P’ et de rayon PP’
• on trace la droite passant par les deux intersections de ces cercles : cette droite est la médiatrice de [PP’]
• O est l’intersection de cette droite et de (PP’)

On trace alors (MO) et M1 se construit en traçant le cercle de centre O et de rayon OM.

b) Nous savons que l’axe de la symétrie transformant un point en un autre est la médiatrice du segment formé par ces points. Donc delta est la médiatrice de [PP’], que nous avons déjà tracée au a).

M2 est le symétrique de M par rapport à delta. Pour le construire, voici une méthode :

nous savons que delta est la médiatrice de [MM2]. Donc il suffit de prendre deux points Q et Q’ de delta (quelconques) et de tracer à partir de chacun le cercle de rayon QM et Q’M. M2 est alors l’intersection de ces deux cercles.

c) Soit I le mileu de [MM2] (I est un point de delta). On a :

• (OI)^(MM1)
• O milieu de [MM1]
• I milieu de [MM2]

Or on sait que la droite passant par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.

Donc (OI)//(M1M2)

Donc (M1M2)^(MM1)

Donc MM1M2 est rectangle en M2

d) On a :

• (OI)^(PP’)
• O milieu de [MM1]
• (PP’)//(MM2)

Or on sait qu’une droite passant par le milieu d’un côté d’un triangle et parallèle à un second côté passe par le milieu du troisième.

Donc (PP’) passe par le milieu de [M1M2]. Comme (M1M2)^(MM1), on a de plus (M1M2)^(PP’)

Donc (PP’) est bien la médiatrice de [M1M2].

L’axe de la symétrie axiale transformant M1 en M2 est la droite perpendiculaire à (M1M2) dont chaque point est equidistant de M1 et M2. Donc c’est la médiatrice de [M1M2], c’est à dire (PP’).