Ex1:ABCD est un carré. I et J sont les milieux respectifs de[AB] et [BC]. La droite (AJ) coupe le segment [DI] en H. AHI et ABJ sont des triangles semblables. Le but de cette question est d’exprimer l’aire de AHI en fonction de celle du carré ABCD. On note a le côté du carré.

(1) Calculer l’aire de ABJ en fonction de a.

Votre réponse est correcte (A=b.h/2)

(2) Calculer le rapport AI/AJ et en déduire l’aire de AHI en fonction de celle de ABJ.

Votre réponse est fausse. Certes, AI=1/2AB et AIH est semblable à ABJ,

MAIS : AI est l’hypothénuse de AIH alors que AB n’est pas l’hypothénuse de ABJ. Donc on ne peut pas comparer facilement AJ et AI.

Bonne réponse : utiliser le théorème de Pythagore.

On a alors AJ=racine(AB²+BJ²)=racine(a²+(a/2)²)=V5.a/2

Comme AI=a/2, on a :

AI/AJ=1/V5 (1 sur racine de 5)

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété des triangles semblables :

AJ est l’hypothénuse de ABJ et AHI est l’hypothénuse de AIH, donc les côtés de AIH sont tous égaux à 1/V5 fois ceux de ABJ.

L’aire de AIH est donc :

A(AIH)=(1/V5)².(1/4.a²)=1/5.1/4a²=1/20.a²

(3) Conclure.

a² est l’aire du carré ABCD. Donc l’aire de AHI est 20 fois (et non 16) plus petite que celle de ABCD.

Ex2: c est un cercle de centre O, [AB] et [CD] sont des diamètres de C. La droite (AC) coupe la tangente en B à c en un point E et la droit (BD) coupe la tangente en A à c en F. Quelle est la nature du quadrilatère AEBF (utiliser la symètrie de centre O)?

J’ai repris votre texte et corrigé les erreurs (en rouge) :

[AB] est un diamètre du cercle c de centre O donc O est le milieu du segment [AB], donc B est l’image de A par la symétrie de centre O. De la même façon, D est l’image de C par la symétrie de centre O. Donc [BD] est l’image de [AC] par la symétrie de centre O. (AC) coupe la tangente en B à c en un point E, donc A, C et E sont alignés et (BD) coupe la tangente en A à c en un point F donc B, D et F sont alignés et on ne peut rien en conclure! (sauf le parallélisme de (AE) et (BF), ce qui nous sert par la suite).

Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. Or E appartient à la tangente en B à c. Donc (EB) et perpendiculaire à (AB). F appartient à la tangente en A à c. Donc (AF) est parpendiculaire à (AB).

Donc (EC)//(AF).

Les côtés de AEBF sont parallèles deux à deux, donc AEBF est un parallélogramme.

J’espère que ces commentaires vous aideront,

A bientôt.