On donne une droite D et deux points A et B n’appartenant pas à D.Soit f la transformation qui, à tout point M associe le point P tel que P soit le centre de gravité du triangle ABM.
1)construire l’image de trois points M1, M2 et M3 par t.

Le centre de gravité est l’interscetion des trois médianes du triangle. Je te laisse faire la figure, qui n’est pas très compliquée à réaliser.

2)définir cette transformation.

Pour tout M, P est le centre de gravité de ABM, donc le barycentre de (A,1), (B,1), (M,1). donc on a :

PA+PB+PM=0 (1)

Soit I le milieu de [AB], c’est à dire le barycentre de (A,1), (B,1). On a alors, pour tout point N :

NA+NB=2NI (une des deux définitions du barycentre, l’autre étant IA+IB=0)

En remplaçant N par P, on obtient PA+PB=2.PI

Donc, en remplaçant dans (1), on obtient :

2.PI+PM=0

Soit encore (en utilisant Chasles) :

2.PI+PI+IM=0

Soit IM=3.IP

Soit enfin IP=1/3.IM

Ceci est la caractérisation d’une homothétie de centre I et de rapport 1/3 : f est donc une homothétie de centre I et de rapport 1/3.

3)en déduire l’ensemble des points P lorsque M décrit D.

On sait (propriété des transformations) que l’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle. Donc l’image de D par f est une droite parallèle à D. Il suffit alors de prendre un point de D et de trouver son image par f : l’image de D est alors la parallèle à D passant par ce point.

Ici, nous pouvons utiliser les points M1 et M2 de la première question...

Remarques :

1) Pour montrer qu’une transformation f est une homothétie, il est utile de montrer :

• que f a un point fixe G
• que pour tout M, l’image N de M par f vérifie : GN=k.GM avec k non nul (si k est nul, ce n’est pas une transformation)
• G est alors le centre de l’homothétie et k son rapport.

2) Utiliser les propiétés des transformations : l’image d’une droite est une droite, etc.

3) Bien maîtriser la double définition du barycentre, et savoir "jongler" entre les deux.

A bientôt