Bonjour,

Voici la réponse à vos questions.

Exercice 180:

1) On a z’=x’+iy’

z’=(-x-y+2) + i(x-y-1)

z’=-x-iy + i ( x+iy ) + 2-i
z’=-z + iz +2-i
z’=(-1+i)z + 2-i

2) z’=az + b avec a=-1+i et b=2-i
| a |= V2 différent de 1 donc s est une similitude plane directe de rapport |a|=V2 et d’angle arg a = 3pi/4

Le centre I de la similitude vérifie zI = (-1+i)zI + 2-i

(1+1-i)zI=2-i
zI=1
Le centre I a pour coordonnées (1,0).

3)a) Soit z" la’affixe de M"=s(M’)=s²(M).

z"=(-1+i) ( (-1+i)z + 2-i ) +2-i

z"=(-1+i)²z + (-1+i)(2-i) +2-i

z"=-2iz -2+i+2i+1+2-i

z"=-2iz +2i +1

zG=(z+z’+z")/3

zG=(z+(-1+i)z+2-i-2iz+2i+1)/3

zG=(-iz+i+3)/3

zG=-iz/3 + 1 + 1/3 i

b) g est une similitude plane directe de rapport | -i/3 |=1/3 et d’angle arg(-i/3)= 3pi/2

et de centre A d’affixe a avec a=-ia/3 + 1+ 1/3 i

a( 1+ i/3)=1 + 1/3 i

a=1

Le centre de la similitude g est I d’affixe 1.

c) déterminons zo l’affixe de Mo

-xo-yo+2=0 et xo-yo-1=0

-2yo+1=0 soit yo=1/2 et xo=1+yo=3/2

D’où Mo(3/2 , 1/2 )

Exercice 181:

1) F est une translation si u²=1 c’est à dire u=-1 ou u=1.

Si u=1 z’=z alors F est l’identité

Si u=-1 alors z’= z - 2 alors F est la translation de vecteur (-2,0)

2) F est une rotation d’angle pi/2 signifie que e(i pi/2 ) =u²

soit u=e(i pi/4 ) ou u=e(i 5pi/4)

Si u=e(i pi/4) alors z’=e(i pi/2)z +V2/2+ iV2/2 - 1,

F est la rotation d’angle pi/2 et de centre A d’affixe a où a=ia+V2/2+ iV2/2 - 1,

Si u=e(i 5pi/4) lors z’=e(i pi/2)z -V2/2 + iV2/2 -1

3) F est une homothétie si et seulement si u²=-2 soit u=-iV2 ou u=iV2.

4) Si u=1-i alors z’=-2iz - i

F est une similitude plane directe d’angle arg(-2i)=3pi/2 de rapport |-2i|=2 et de centre B d’affixe b tel que b=-2ib-i soit

(1+2i)b=-i

b=-i/(1+2i)

b=-i(1-2i)/5

b=-2/5 -i/5

Exercice 182

1) Si a=0 alors z’=z et fa est l’identité .

si a différent de 0 alors fa est une similitude plane directe de rapport V(1+tan²a)=V(1/cos²a)=1/V(cos²a)=1/cosa

L’angle de cette similitude est a et son centre I d’affixe zI vérifie zI=(1+i tana)zI-itana

zI=1 donc I(1,0)

2) On a AM=| z-1 |

AM’==| z’ -1 |

AM’=| (1+i tana)z - itana - 1 |

AM’=| (1+i tana)z - (1+i tana) |

AM’=|1+i tan a | | z- 1|

AM’=V (1+tan²a )|z - 1|

MM’=| (1+i tana)z -i tana - z|

MM’=| i tana (z-1) |

MM’=V(tan²a) |z-1|

On a MM’² + AM² = AM’² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore on en déduit que la triangle AMM’ est rectangle ( en M )

3)

on a b=fa(z) et on cherche z

b=(1+ i tan a) z - i tana

z=(b+i tana )/(1 + itan a)

Conclusion : les antécédents de B d’affixe b par fa sont les points M d’affixe z tels que z=(b+i tana )/(1 + itan a)

Exercice 183:

1) Notons A’ l’image de A

z’A=zA’=(3+V3i)/4 x 2 + (1-V3i)/2

zA’=(3+V3i)/2 + (1-V3i)/2

zA’=2=zA

2) Notons u l’affixe du point P.

On a ( (3+iV3)/4) u =( iV3 -1)/2

u=(2iV3-2)/(3+iV3)

u=(2iV3-2)(3-iV3)/12

u=(6iV3+2iV3-6+6)/12

u=8iV3/12

u=i 2V3/3

2) Phi est une similitude plane directe de rapport | (3+iV3) / 4 |=V ( (3/4)²+(V3/4)² ) = V(9/16+3/16)=V(12/16)=2V3/4=V3/2

et d’angle arg ( (3+iV3) / 4)=pi/6 et de centre le point A ( car A est invariant par phi ( phi(A)=A ) )

3)

a) AM=| Z - 2|

AM’=| Z’ - 2 | = | (3+iV3)/4 Z + (1-iV3)/2 - 2 |

AM’=| (3+iV3)/4 Z +(-3-iV3)/2 |=| (3+iV3)/4 ( Z -2) | = |(3+iV3)/4| |Z-2|=V(12/16) |Z-2|=V(3/4) |Z-2|

MM’=| (3+iV3)/4 Z + (1-iV3)/2 - Z |

MM’=| (-1+iV3)/4 Z +(1-iV3)/2 |

MM’=| (-1+iV3)/4 | | Z - 2|=(1/2)|Z-2|

On a MM’² + AM’² = (1/4) |Z-2| + (3/4) |Z-2| = |Z-2|=AM²

Donc d’après la réciproque de la propriété de Pythagore on en déduit que les triangle AMM’ est rectangle ( en M’)

A bientôt.

Bonne journée.

François.