Dans le plan orienté on fixe 3 points A, B, E tel vectAE = 3/4 vectAB, on prendra AB=16.

Soit un point C tel que l’angle orienté (vectAB,vectAC) congru a pi/4 modulo 2 pi. La parallèle a BC passant par E, coupe (AC) en F. D est le point commun aux droites (EC) et (BF) ; I milieu de [BC] et J milieu de [EF].

h: l’homothétie de centre A qui transforme B en E
g: l’homothétie de centre D qui transforme E en C

1)Déterminez h(C) et g(F) ?

Montrons que F est l’image de C par h :

h est l’homothétie de centre A et de rapport 3/4.

Or (BC)//(EF) et F appartient à (AC). Donc, d’après le théorème de Thalès :

AF/AC=AE/AB=3/4

Comme A, F et C sont alignés et que F est situé entre A et C, on a AF=3/4.AC (les vecteurs sont en italique).

Donc h(C)=F

Montrons que g(F)=B

D’après le théormème de Thalès, on a : EF=3/4.BC, soit :

ED+DF=3/4(BC+DC)

ED+3/4.CD=FD+3/4.BD

Or ED et CD sont colinéaires, de même que FD et BD. On a donc :

ED+3/4.CD=FD+3/4.BD=k1.ED=k2.BD. Comme ED et BD ne sont pas colinéaires, on a forcément k1=k2=0

D’où :

ED+3/4.CD=FD+3/4.BD=0, c’est à dire :

DE=-3/4.DC et DF=-3/4.BD

B est bien l’image de F par une homothétie de même centre et de même rapport que g, dong g(F)=B

2)En déduire la nature et les éléments caractéristiques de (g o h) et de (h o g) ?

On a : (goh)(C)=g(h(C))=g(F)=B

(goh)(B)=g(h(B))=g(E)=C

La comoposée de deux homothéties est une homothétie. Ici, le centre M de goh est sur la droite (BC), tel que MB=k.MC et MC=k.MB. Le seul k possible est k=-1. Donc M est le milieu de [BC] : I. goh est donc l’homothétie de centre I et de rayon-1 (symétrie centrale de centre I)

(hog)(E)=h(C)=F

(hog)(F)=h(B)=E

De même, on montre facilement que hog est une homothétie de centre J et de rayon -1. (symétrie centrale de centre J)

On pose h(E)=E’ et g(E’)=E’’ 3)Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de (g o h o h o g) ?

La composée de deux symétries centrales est une translation de vecteur 2.JI.

4)Nature de BECE’’ ?

E"=goh(E)

Donc E" est le symétrique de E par I.

Donc I est le milieu de [EE"] et de [BC].

Donc BECE" est un parallélogramme.

5) Z est l’ensemble des points M tel que : angle orienté (vectAB,vectAM) congru a pi/4 modulo 2pi. C décrit Z, determiner et tracer le lieu géométrique Z’’ du point E’’ ?

Comme BECE" est un parallélogramme, on a CE"=EB. Donc, pour déterminer le lieu de E", il suffit de prendre un point C1 quelconque de Z, puis de placer le E"1 associé. Z est la droite (AC1) et le lieu de de E" est la parallèle à (AC1) passant par E"1.

J’espère que cette réponse te conviendra parfaitement.