Un épicier prépare toujours 100kg de mélange à partir de robuste qui lui revient à 28f/kg et d’arabica 42f/kg.

a)le kg de mélange est vendu 47.6f.l’épicier réalise ainsi un bénéfice de 40% par rapport au prix de revient.Donner la composit° du mélange(résolution algébrique) et vérifier graphiquement votre solut°.

On appelle :

• Pr le prix de revient des 100kg de mélange.
• r la quantité de robusta dans les 100kg de mélange
• a la quantité d’arabica dans les 100kg de mélange
• Pv le prix de vente des 100kg de mélange

On a Pv=100 x 47,6 = 4760 F

On sait que le bénéfice est de 40%, donc le prix de revient est de 60% du prix de vente.

Soit Pr=60% x 4760 = 0,6 x 4760 = 2856 F

Par ailleurs, le mélange est composé de r kg de robusta à 28 F et de a kg d’arabica à 42 F.

On a donc deux équations :

• 2856 = r.28+a.42
• r+a=100 (il y a 100kg de café en tout)

Soit r=100-a

On remplace r dans la première équation :

2856 = (100-a).28+a.42 = 2800- 28.a+42.a = 2800+14.a

Soit 56=14a soit a=4

On a alors nécessairement r=100-a=100-4=96

Le mélange est donc composé de 96 kg de robusta et de 4kg d’arabica.

Graphiquement, la solution est donnée par l’intersection des courbes d’équation :

• 2856 = r.28+a.42 (qui peut s’écrire aussi r=102-1,5.a
• r+a=100 (qui peut s’écrire r=100-a)

b)si un crise d’approvitionnement survenait,le prix de revient de robusta doublerait;celui de l’arabica +60%.Pour rester compétitif l’épicier augmente son prix de vente de+50%, tout en gardant le même % de bénéf par rapport au prix de revient.Calculer ce que serait la nouvelle composition du mélange.

Le nouveau prix de vente du mélange sera de 47,6 x (1+50%)=47,6 x 1,5 = 71,4 F/kg

Le prix d’un kg de robusta devient 2 x 28=56 F

Le prix d’un kg d’arabica devient 1,6 x 42 = 67,2 F

On appelle :

• Pr’ le prix de revient des 100kg de mélange.
• r’ la quantité de robusta dans les 100kg de mélange
• a’ la quantité d’arabica dans les 100kg de mélange
• Pv’ le prix de vente des 100kg de mélange

On a Pv’=100 x 71,4 = 7140 F

On sait que le bénéfice recherché est de 40%, donc le prix de revient est de 60% fois le prix de vente.

Soit Pr’=60% x 7140 = 4284

Par ailleurs, le mélange est composé de r’ kg de robusta à 56 F et de a’ kg d’arabica à 67,2 F.

On a donc deux équations :

• 4284 = r’.56+a’.67,2
• r’+a’=100 (il y a 100kg de café en tout)

Soit r’=100-a’

On remplace r dans la première équation :

4284 = (100-a’).56+a’.67,2 = 5600- 56.a+67,2.a = 5600+14.a

Soit 14a= -1316

Soit a=-94. Ceci est évidemment impossible, car a ne peut pas être négatif.

La plus petite valeur que a peut prendre est 0.

Conclusion : il est impossible de maintenir un taux de bénéfice de 40%, car les matières premières sont trop chères. Ce que va donc faire le producteur est de faire un mélange avec seulement du robusta (moins cher que l’arabica). Dans ce cas, le prix du mélange est de 100 x 56 = 5600 F et le taux de bénéfice sera de (7140-5600)/7140 = 21,56 %

A bientôt.