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Norme d'un vecteur, orthogonalité, bases |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Première |
S |
| Chapitre |
Norme d'un vecteur, orthogonalité, bases
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| Prestation |
Résolution d' une question d'un problème ou exercice |
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| Enoncé |
ABD est un triangle rectangle isocèle en A, AB = AD = a.
F est un point de [AD], E est un point de [AB] distinct de A.
Les droites (DE) et (BF) se coupent en C.
M, N et O sont les milieux respectifs de [AC], [BD] et [EF].
Le but de l’exercice est de prouver que M, N et O sont alignés.
Pour cela, on utilise l’outil analytique.
On choisit le repère orthonormal (A ; i, j) (i et j sont des vecteurs)
tel que vecteur AB = ai et vecteur AD = aj
a) Quelles sont les coordonnées de A, B et D dans ce repère ?
b) On note m l’abscisse de E, et n l’ordonnée de F. Montrer que mn - a2 ¹ O
c) Trouver une équation cartésienne de (BF) et (DE), puis déterminer les coordonnées de C.
d) Calculer alors les coordonnées de M, N et O , et prouver que M, N et O sont alignés.
Seule la deuxième partie de la question d) m’intéresse.
Voici les réponses que j’ai trouvées :
a) A(O ;O)
B(a ;O)
D(O ;a)
b) Ici, c’est OK.
c) (BF) : nx + ya - an = O
(DE) : -xa - ym + am =O
C ((amn -a²m)/(mn -a²)) ; (amn - a²n)/(mn -a²))
d) M ((amn - a²m)/(2mn -2a²) ; (amn -a²n)/(2mn - 2a²))
N (0.5a ; 0.5a)
O (0.2m ; 0.5n)
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Pistes |
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| Le titre exact du chapitre est : l’outil vectoriel en géométrie plane. |
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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d) M ((amn - a²m)/(2mn -2a²) ; (amn -a²n)/(2mn - 2a²)) N (0.5a ; 0.5a) O (0.5m
; 0.5n)
Pour prouver que M,N et O sont alignés, il faut montrer qu’ils appartiennent
tos à une même droite (D) d’équation y=a’x+b’
Ici, on a :
- N appartient à (D) donc : 1/2a= a’.1/2a+b’
- O appartient à (D) donc : 1/2n = a’.1/2m+b’
Soit, en soustrayant : 1/2(a-n)=a’.(1/2a-1/2m) soit a’=1/2(a-n)/(1/2a-1/2m)=(a-n)/(a-m)
Soit b’=1/2a-a’.1/2a=1/2a(1-(a-n)/(a-m))=1/2a(n-m)/(a-m)
M appartient-il à (D) ?
a’.(amn - a²m)/(2mn -2a²)+b’=(a-n)/(a-m).(amn - a²m)/(2mn -2a²)+1/2a(n-m)/(a-m)=[(a-n).(amn-am²)+1/2a(n-m)(2mn-2a²)]/[(2mn
-2a²).(a-m)]
= (a²mn-a²m²-a^3n+a^3m)/(2mn-2a²).(a-m)=a²(m-a)(n-m)/[(2mn
-2a²).(a-m)]=(a²m-a²n)/(2mn -2a²)
Je ne trouve pas tout à fait l’ordonnée de M... Peut-être
as-tu fait une erreur de calcul (à moins que ce soit moi). Voici en tout
cas la marche à suivre.
A bientôt
P.S. : de toute évidence, on a O (0.5m ; 0.5n) et non O (0.5m ; 0.2n)
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