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Probabilités : variables aléatoires, conditionnement |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Terminale |
S |
| Chapitre |
Probabilités : variables aléatoires, conditionnement
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| Prestation |
Résolution d' un problème complet ou d'un devoir maison (plus de 16 questions et/ou sous questions) |
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| Enoncé |
Exercice 1
On dispose d’un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d’apparaître. Le dé possède trois faces rouges, une face orange et deux vertes. Un jeu consiste à lancer une fois le dé. La règle est la suivante : le joueur mise 10 € ;
si la face supérieure du dé est rouge, il ne reçoit rien;
si la face supérieure du dé est orange, il reçoit 10 € ;
si la face supérieure du dé est verte, il reçoit m € (m est un entier naturel strictement supérieur à 10).
On appelle gain algébrique du joueur la différence entre ce qu’il reçoit à l’issue d’une partie et sa mise; on désigne par X la variable aléatoire associant à chaque lancer ce gain algébrique.
1. Quelles sont les valeurs prises par X ?
Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Déterminer, en fonction (le Tri, l’espérance mathématiques (le X. Le jeu est dit ’équitable’’ si l’espérance mathématique de X est nulle; déterminer ni pour qu’il en soit ainsi.
3. L’entier naturel n étant supérieur ou égal à2, un joueur effectue n, lancers consécutifs indépendants.
a Pour un lancer donné, montrer que la probabilité d’obtenir un gain algébrique strictement positif est p = 1/3.
b Déterminer en fonction de n, la probabilité p„ pour que ce joueur obtienne au moins une fois un gain algébrique strictement positif à l’issue de n lancers.
c Déterminer le plus petit entier N tel que
Pn ≥0.99
Exercice 2
Dans une entreprise, on fait appel à un technicien lors de ses passages hebdomadaires, pour l’entretien des machines.
Chaque semaine, on décide donc pour chaque appareil de faire appel ou non au technicien.
Pour un certain type de machines, le technicien constate
Qu’il doit intervenir la première semaine,
Que s’il est intervenu la n ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la (n + 1) ième semaine est égale à 3/4,
que s’il n’est pas intervenu la n ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la (n + 1) ième semaine est égale à 1/10.
On désigne par En l’événement : ’’le technicien intervient la, n ième semaine’’ et par Pn la probabilité de cet événement En.
1. Déterminer les nombres : p(E1) P(En+1 I En) et p(En+1 I E barre n) puis en fonction de pn : p(en+1 inter En) et p(En+1 inter En).
2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : pn,+1 = 13/20pn+1/10
3. On pose qn= pn-2/7
a Montrer que la suite (Qn) est une suite géométrique.
b En déduire l’expression (le p, en fonction de n.
e Pour quelles valeurs (le l’entier n, la probabilité que le technicien intervienne la n ième semaine est elle inférieure à 3/10
Exercice 3
Une urne contient douze boules indiscernables au toucher : m boules blanches et n boules noires.On tire successivement, sans remise, deux boules.Déterminer les couples(m,n) ,pour que la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes soit égales à 16/33
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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EXERCICE N°3
On obtient deux couleurs différentes si
on tire une blanche, puis une noire ou une noire puis une blanche.
On obtient donc l’équation :
m/12*n/11+n/12*m/11=16/33
mn/132+mn/132=16/33
mn/66=16/33
mn/2=16
mn=32
De plus, m + n =12
m et n sont les solutions de l’équation
X²-12X+32=0
EXERCICE N°1
1) Si le joueur tire rouge, il ne gagne rien et
perd sa mise donc son gain est -10 euros.
X prend donc les valeurs -10 ; 0 et m - 10.
p(X=-10)=3/6 p(X=0)=1/6 p(X=m-10)=2/6
2) E(X)=-10*3/6+0*1/6+(m-10)*2/6
E(X)=-5+(m-10)*1/3
Résous l’équation E(X) = 0
3) a) On sait que m est strictement supérieur
à 10, donc m - 10 > 0 et p = 1/3.
b) L’événement contraire est : "obtenir un gain
négatif n fois" soit une probabilité de (2/3)^n.
La probabilité cherchée est donc : 1 - (2/3)^3.
EXERCICE N°2
1) Les données permettent de trouver :
P¨(E1)=1/7
p(En+1/En)=3/4
p(En+1/En barre)=1/10
p(En+1 inter En)=p(En+1/En)*p(En)=3/4*pn
P(En+1 inter En barre)=p(En+i/En barre)*p(En
barre)
p(En+1 inter En barre)=1/10(1-pn)
2) Pn+1=p(En+1 inter En) + p (En+1 inter En barre)
3) a) On a :
Q n+1=pn+1 - 2/7
qn+1 = 13/20pn+1/10-2/7
qn+1=13/20pn-13/70
qn+1=13/20(pn-2/7)=13/20qn
Conclus.
b) pn = qn + 2/7
Or qn est géométrique donc qn = q1 (13/20)^(n-1)
et q1 = p1-2/7=-1/7
D’où pn=-1/7(13/20)^(n-1)+2/7
c) Résous l’inéquation : pn <3/10.
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