Soit un triangle ABC. On a tracé le carré ABDE situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas C, et le carré ACFG situé dans le demi-plan de frontière (AC) ne contenant pas B.

1. Comparer les angles BAG et CAE, puis les produit scalaire AB.AG et AC.AE.

BAG=BAC+CAG=BAC+90°

CAE=CAB+BAE=CAB+90°

Comme BAC=CAB, on a BAG=CAE.

AB.AG=||AB||.||AG||.cos(AB,AG)

AC.AE=||AC||.||AE||.cos(AC.AE)

Or ||AB||=||AE||, ||AG||=||AC|| et cos(AB,AG)=cos(AC,AE)

Donc AB.AG=AC.AE

2. On note I le milieu de [BC]. En utilisant AI=1/2(AB+AC), calculer AI.EG. En déduire que la médiane du triangle ABC est hauteur du triangle AEG.

AI.EG=1/2(AB+AC).(EA+AG)

= 1/2.AB.EA+1/2.AB.AG-1/2.AC.AE+1/2AC.AG

=0+1/2(AB.AG-.AC.AE)+0
=0

Donc (AI) et (EG) sont perpendiculaires. Donc la perpendiculaire à (EG) passant par A (hauteur de AEG) passe par I ( et (AI) est une médiane de ABC)

3. La hauteur issue de A du triangle ABC est elle une médiane du triangle AEG ? Justifiez.

Oui, car les triangles sont interchangeables (le dessin peut être reproduit en construisant les carrés autour de AEG et non de ABC)

4. Conclure l’exercice en recopiant et en complétant la phrase suivante :

En construisant extérieurement à un triangle quelconque ABC, les carré ABDE et ACFG, on montre que la médiane (AI) du triangle ABC est la hauteur issue de A du triangle AEG et que la hauteur issue de A du triangle ABC est la médiane issue de A du triangle EAG.

A bientôt.