Bonsoir,
Voici la réponse à ta question (les vecteurs sont en italique) :
Tout d'abord,
v.AB=(OA+OB+OC-OH).AB
Soit v.AB=(OA+OB+OC+HO).AB
Soit v.AB=(OA+OB+HC).AB (relation de Chasles)
Or HC.AB=0 (car H appartient à la hauteur de ABC issue de C)
D'où v.AB=(OA+OB+HC).AB=(OA+OB).AB
(car le produit scalaire est linéaire : (u+v).w=u.w+v.w)
Soit I le milieu de [AB], OA+OB=2OI (propriété des parallélogrammes)
Enfin, 2OI.AB=0, car (OI) est la médiatrice de [AB], donc perpendiculaire
à (AB)
On a donc bien v.AB=0
Remarque : effectivement, un vecteur peut difficilement être perpendiculaire
aux trois côtés d'un triangle. Mais ici, on parle de produit scalaire, donc
d'orthogonalité (et pas tout à fait de perpendicularité). Il existe au moins
un vecteur orthogonal à tous les autres : le vecteur nul... Si tu traces la
figure, tu pourras constater que v est le vecteur nul (je suppose d'ailleurs
que l'on te demande de le déduire...)
Merci de ta confiance et à bientôt,
L'équipe de KeepSchool
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