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Produit scalaire |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Première |
S |
| Chapitre |
Produit scalaire
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| Prestation |
Résolution d' un problème complet ou d'un devoir maison (max. 16 questions et/ou sous questions) |
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| Enoncé |
I-
A et B sond Deux points tel que AB=4
Trouver et construire les emsembles E,F,G,H des points M du plan verifiant les egalités suivantes:
E:MA²-MB²=16 F:MA²+MB²=3 G:MA.MB=3 (MA et MB en vecteurs) H:AB.AM=-5 (AB et Am en vecteurs).
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II-Une ligne de niveau
Les vecteurs son indiqués entre parenthese et les ’’alpha’’ ,’’beta’’ etc...decriev les caracteres Grecs.
A et B sont deux points distincs du plan.
’’Alpha’’,’’Beta’’ et K sont trois reel tels que Alpha + Beta différent de 0
On cherche a determiner l’emsemble ’’téta’’ des points M du plan tel que :
-’’Alpha’’*MA² +’’beta’’*MB²=K
1-a)Soit G le barycentre du systeme: {(A ; ’’alpha’’),(B;’’Beta’’)}
En ecrivant MA=MG +GA (tous les trois des vecteurs)et une égalité identique pour MB(vecteur), montrer que :
’’Alpha’’*MA²+’’Beta’’*MB² =(’’alpha’’+’’Beta’’)MG² +’’alpha’’*GA² +’’Beta’’*GB².
b)en deduire que
M appartient a ’’Téta’’ <=> GM²= (K-’’alpha’’*GA² -’’Beta’’*GB²) / (’’alpha’’+’’Beta’’)
Discuter alors de la nature de ’’teta’’ selon la valeur de k-’’alpha’’*GA² -’’Beta’’*GB².
2° Etude d’un exemple.
ON donne ab = 10 ,’’alpha’’=2 ,’’Beta’’=3 et K=165.
Determiner alors et construirel’emsemble ’’Téta’’.
Merci de m’aider.
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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Partie 1
Ensemble E :
MA²-MB² =(MA-MB).(MA+MB) en vecteur
= BA . 2MI en vecteur où I est milieu de
AB.
Soit H le projeté orthogonal de M sur (AB).
BA . 2 MI=2 BA . HI en vecteur
On cherche donc les points H tels que :
2 BA . HI = 16 en vecteur
ou encore BA * HI = 8 en longueur
soit HI = 2
Place le point tel que HI = 2 les vecteur HI et BA ayant le même sens. E est la droite
perpendiculaire à (AB) passant par H.
Ensemble F
MA²+MB²=2MI²+1/2AB² th de la médiane
2MI²+1/2AB²=3
2MI²+8=3
2MI²=-5 c’est impossible donc F est vide
Ensemble G
MA.MB=3 vecteurs
(MI+IA)(MI+IB)=3
(MI+IA)(MI-IA)=3
MI²-IA²=3
MI²=3+4=7 MI= racine de 7
G est le cercle de centre I rayon 7
Ensemble H
AB.AM=5 AB.AH=5 AH=5/4
Place H tel que AH =5/4 et vec(AB) et vec(AH)
même sens et conclus comme pour l’ensemble E
Partie 2
1) a)
a = alpha b = béta
aMA²+bMB²=a(MG+GA)²+b(MG+GB)²
=aMG²+2aMG.GA+aGA²+bMG²+2bMG.GB+bGB²
=(a+b)MG²+2MG.(aGA+bGB)+aGA²+bGB²
Conclus
M appartient à Téta ssi
(a+b)MG²+aGA²+bGB²=k
(a+b)MG²=k-aGA²-bGB²
a+b différent de 0
MG²=(k-aGA²-bGB²)/(a+b)
Si k-aGA²-bGB² = 0, M=G
Si k-aGA²-bGB² et a+b sont de même signe,
Téta est le cercle de centre G
Sinon Téta est vide |
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