a) Démontrer que AC. AJ = AB.AL

On a : AC.AJ=||AC||.||AJ||.cos(AC,AJ)

Or ||AC||=||AL|| et ||AJ||=||AB||

De plus, (AC,AJ)=(AC,AB)+(AB,AJ) (angles orientés)

Et, comme ABIJ et ACKL sont des carrés, on a :

(AB,AJ)=(AL,AC).

Donc (AC,AJ)=(AC,AB)+(AB,AJ)=(AC,AB)+(AL,AC)

= (AL,AC)+(AC,AB)
= (AL,AB)
=-(AB,AL)

Donc, AC.AJ=||AC||.||AJ||.cos(AC,AJ)=||AL||.||AB||.cos(-(AB,AL))

= ||AL||.||AB||.cos(AB,AL) (car cos(-x)=cosx)
= AB.AL

b) Calculer AM . JL

M est-il bien le milieu de [AB] ? si tel est le cas, il n’y a pas de résultat intéressant et simple.

Je pense qu’il s’agit du milieu de [BC], auquel cas, on montre grâce au a) que AM.JL=0...

c) Montrer que AL . AJ = - AB . AC (comparer l’angle non orienté des vecteurs AB et AC et celui des vecteurs AL et AJ)

AL.AJ=||AL||.||AJ||.cos(AL.AJ)

= ||AC||.||AB||.cos(AL.AJ)

Or (AL,AJ)=(AL,AC)+(AC,AB)+(AB,AJ)

= pi/2-(AB,AC)+pi/2
=-(AB,AC)+pi

Or cos(x+pi)=-cos(x)

Donc AL.AJ=||AC||.||AB||.cos(AL.AJ)

=||AC||.||AB||.cos(-(AB,AC)+pi)
= -||AC||.||AB||.cos(-(AB,AC))
= -||AC||.||AB||.cos(AB,AC)
= - AC.AB

d) Montrer que les droites (CL) et (BL) sont perpendiculaires.

Il doit y avoir une erreur d’énoncé, car la figure ne donne pas ce résultat...