Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O,u,v).

On considère la courbe (C) définie paramétriquement par :

x=f(t)=t²/2+t, t dans IR

y=g(t)=-t²/2+t

1)Etudier conjointement les variations sur IR des focntions f et g.

f et gsont définies sur IR

Il n’y a pas de parité remarquable pour fet g

f et g sont dérivables sur IR et pour t E IR :

f ’(x) = t + 1 : f décroissante sur]-oo;-1] ; croissante sur [-1; +oo[

g ’(x) = -t + 1 : g croissante sur ]-oo;1] ; décroissante sur [1;+oo[

t : -00--------------- -1 ------------------- 1 --------------------- +00

f’ : ---------- (-)-------0-------(+)-----------2------- -----------------

f : +00------decrois--(-1/2)----crois--------(3/2)------crois--------+00

g : -00-----crois------(-3/2)------crois------(-1/2)-----decrois----- -00

g’ : -------(+)------------2---------------------0-----------(-)--------------

2) Préciser les points de (C) où la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées.

en t=-1, f’(-1) = 0 et g’(-1)<>0 donc la tangente en -1 est parallèle à l’axe des ordonnées.

en t=1, f’(1) <> 0 et g’(1) = 0 donc la tangente en -1 est parallèle à l’axe des abscisses

3) Précisez les points d’intersection de (C) avec chacun des axes (Ox) et (Oy). Donnez un vecteur directeur des tangentes aux points obtenus. Dessinez (C).

Points d’intersection de C avec (Oy) : il faut t^2+t =0 : i.e. t(t+1) =0 : en t=0 et t=-1; (C) coupe (Oy) :

Vecteur directeur de la tangente en (t=0) : vecteur (v) = f’(0)vecteur(i) + g’(0)vecteur (j) = i + j

idem en t=-1 : vecteur(v) = 2j

Points d’intersection avec OY : il faut g(t) = 0 ie t(-t+1)=0 donc t=0 ou t=1

Vecteur directeur de la tangente en (t=0) déjà vu

en (t=1) : vecteur (v) = 2i