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Autre sujet |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Seconde |
générale |
| Chapitre |
Autre sujet
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| Prestation |
Résolution d' un problème complet ou d'un devoir maison (max. 16 questions et/ou sous questions) |
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| Enoncé |
il s’agit d’un devoir d’entrainement aux devoirs surveillés mais le professeur ne nous donne pas de correction (quelle utilité?) c’est pour cela que je vous demande les reponses justes. merci par avance.
Soit le triangle ABC équilatéral de côté a .
On pose “vecteur AD”=2 vecteurs BC et on appelle C’ le projeté orthogonal de C sur (AD) et I l’intersection de (AC) et (BD).
1°) calculer CD en utilisant le triangle rectangle CC’D
2°) montrer que le triangle ACD est rectangle en C
3°)eb déduire la valeur exacte en radians de l’angle BCD
4°) on pose x=pi-(angle BCD). Donner la valeur exacte en radians de x.
En déduire les valeurs exactes de cos x et sin x puis la valeur exacte de cos (Angle BCD)
5°) calculer BD en placant cette longueur dans un triangle rectangle que l’on construira.
6°) calculer séparément en utilisant tous les résultats précédents BD² d’une part etBC²+CD²-2BC fois BD fois cos (angle BCD)
Que constate t on?
7°) calculer en fonction de a la longueur IB ainsio que la longueur IC
8°) Donner la valeur exacte de cos (angle ADB. En déduire une valeur approchée de cet angle en radians à 0,0001 près.
Donner une valeur approchée en radians à 0,0001 près de l’angle en I du triangle IBC
Comparer enfin grâce au calcul précédent, BC² et IB²+IC²-2IB fois IC fois cos (angle BIC).
Merci encore et désolée mais je ne trouve pas comment marquer les vecteurs donc j’ai mis “vecteur AD par ex, idem pour le signe multiplier j’ai mis fois et pour pi en toutes lettres. |
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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Soit le triangle ABC équilatéral de côté a . On pose “vecteur AD”=2 vecteurs BC et on appelle C’ le projeté orthogonal de C sur (AD) et I l’intersection de (AC) et (BD).1°) calculer CD en utilisant le triangle rectangle CC’DConsidérons le triangle ACC’, rectangle en C’.L’angle C’AC a pour mesure 60° (pi/3), car (AD) est parallèle à (BC), donc les angles C’AC et ACB sont alternes-internes.On a cos(C’AC)=cos(60°)=AC’/ACSoit 1/2=AC’/a
Soit AC’=a.1/2
Soit C’D=2a-a/2=3a/2
De même sin(C’AC)=CC’/ACSoit V3/2=CC’/a
Soit CC’=a.V3/2
Par le théorème de pythagore, on a :CD²=CC’²+C’D²Soit CD=V(3a²/4+9a²/4)=V(3a²)=a.V32°) montrer que le triangle ACD est rectangle en COn a bien AD²=AC²+CD² (4a²=a²+3.a²)3°)eb déduire la valeur exacte en radians de l’angle BCDsa valeur est de pi/3+pi/2=5pi/6
4°) on pose x=pi-(angle BCD). Donner la valeur exacte en radians de x. En déduire les valeurs exactes de cos x et sin x puis la valeur exacte de cos (Angle BCD)x=pi-5pi/6=pi/6
On a alors sinx=1/2 et cosx=V3/2
D’où cos(^BCD)=cos(pi-x)= -cosx= -V3/2sin(^BCD)=sin(pi-x)= -sinx=1/2
5°) calculer BD en placant cette longueur dans un triangle rectangle que l’on construira.On prend G, le projeté orthogonal de B sur (AD).AG=1/2a (propriété des triangles isocèles) donc GD=1/2a+2a=5/2aPar ailleurs, GB=V3/2.a (facile à montrer).Donc BD²=GB²+GD²Soit BD=a.V76°) calculer séparément en utilisant tous les résultats précédents BD² d’une part etBC²+CD²-2BC fois BD fois cos (angleBCD) Que constate t on?On constate (calcul facile) que ces valeurs sont égales : il s’agit d’une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.
7°) calculer en fonction de a la longueur IB ainsi que la longueur IC
Je vous laisse faire ce calcul...
Une fois que nous avons IB, il est aisé d'obtenir IC (en effet, on connaît IB et BD, donc ID, donc IC par Pythagore)
8°) Donner la valeur exacte de cos (angle ADB.
cos(ADB)=DG/DB=5a/2/(a.V7)=5/(2.V7)
En déduire une valeur approchée de cet angle en radians à 0,0001 près.
A la calculatrice : 0,3335 radians
Donner une valeur approchée en radians à 0,0001 près de l’angle en I du triangle IBC
On a angle(ADC)=angle(ACB)+angle(IDC)
Or angle(ADC)=pi/6=0,5236
Soit angle(IDC)=0,5236-0,3335=0,1901
Comme angle(DCI)=pi/2
On en déduit que angle(DIC)=pi-pi/2-0,1901=1,3807 radians.
Comparer enfin grâce au calcul précédent, BC² et IB²+IC²-2IB fois IC fois cos (angle BIC).
On trouve, une fois de plus, des valeurs très proches (pas exactes car on a procédé par estimations)
J'espère que cela vous aidera. A bientôt. |
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