1° a) Construire un rectangle ABCD de centre O. soit E le symétrique de O par rapport à la droite (BC) et F le point d’intersection des droite (BE) et (CD).

Voir dessin ci-dessous.

Pour construire le rectangle, on peut tracer un cercle de centre 0 et de rayon quelconque. On prend alors deux diamètres de ce cercle. On sait que si [AB] est un diamètre du cercle et que C est un point du cercle, alors ABC est rectangle en C.

Une fois le cercle construit, on place E :

OBC est isocèle en O (car ABCD est un rectangle)

• or la symétrie conserve les distances.
• Donc le symétrique de OBC par rapport à (BC) est isocèle.
• or le symétrique de OBC par rapport à (BC) est (BEC), qui est donc isocèle en E.
• on a alors OC=CE=BE=OB
• pour placer E, il suffit donc de tracer le cercle de centre C et de rayon CO puis le cercle de centre B et de rayon BO : E est à leur intersection

Placer F est évident...

b)Quelle est la nature du quadrilatère BECO ? Et celle de BFCA ? Justifier.

BECO est un losange, car ses 4 côtés sont de même longueur (cf. ci-dessus)

Montrons que BFCA est un parallélogramme :

• BECO est un losange, donc c’est un parallélogramme
• donc (OC)//(BE)
• donc (AC)//(BF)
• de plus (AB)//(DC) (car ABCD est un rectangle)
• donc (AB)//(DF)

Donc ABFC est un parallélogramme (ses côtés sont parallèles 2 à 2)

2°Soit I le milieu de [AB] et M le symétrique de D par rapport au point I. Prouver que:

a)AMBD est un parallélogramme

I est le milieu de [AB] (par définition)

I est le milieu de [DM] (car I est le symétrique de D par I)

Donc les diagonales de AMBD se coupent en leur milieu, donc c’est un parallélogramme.

b)B est le milieu de [MC]

AMBD est un parallélogramme, donc AD=BM

Or ABCD est un rectangle, donc AD=BC

Donc BM=BC

Donc B est le milieu de [CM]

C)AMBD est un ..... en A

??? n’y a-t-il pas un problème à cette question ? Nous avons montré que AMBD est un parallélogramme.

Bonsoir.