Résolution du devoir :

PARTIE 1 :

On a 3246692 = 3000000 + 246692 = 3.10^6 + 246692

Or 0<246692<10^6

D’où 3.10^6+0<3000000 + 246692<3.10^6+10^6

Soit 3.10^6<3246692<4.10^6 (1)

De même :

On a 5373576 = 5000000 + 373576 = 5.10^6 + 373576

Or 0<373576<10^6

D’où 5.10^6+0<5000000 + 373576<5.10^6+10^6

Soit 5.10^6<5373576<6.10^6 (2)

Nous pouvons multiplier membre à membre (1) et (2), car nous sommes en présence de nombres positifs. On a alors :

5.10^6.3.10^6<3246692.5373576<6.10^6.4.10^6

Soit 15.10^6.10^6<P<24.10^6.10^6

Or on sait que X^a.X^b=X^(a+b)

Donc 15.10^12<P<24.10^12

On a 15.10^12=15.1000000000000=15 000 000 000 000 (qui a 14 chiffres)

De plus 24.10^12=24.1000000000000=24 000 000 000 000 (qui a 14 chiffres)

Comme P est compris entre ces deux nombres, P a bien 14 chiffres.

On a bien 3246629 = 3246000 + 629 =3246.10^3 + 629

De même, on a bien 5373576 = 5373000 + 576 = 5373.10^3 + 576

On a alors P=3246629.5373576

=(3246.10^3 + 629).(5373.10^3 + 576)
= 3246.10^3.5373.10^3+3246.10^3.576+629.5373.10^3+629.576 (on a développé)
= 3246.5373.10^6+(3246.576+629.5373).10^3+629.576 (on a regroupé les termes de même puissance de 10)

Calculons :

3246.5373=17440758
3246.576+629.5373=1869696+3379617=5249313
629.576=362304

On a enfin :

P=17440758.10^6+5249313.10^3+362304=17440758000000+5249313000+362304=17446007675304

PARTIE 2 :

Calculons 462769²:

462769=462.10^3+769

On alors 462769²=(462.10^3+769)²=(462.10^3)²+2.462.10^3.769+769²

=462².10^6+2.462.10^3+769²

Or 462²=213444

2.462=924

769²=591361

Soit 462769²=213444.10^6+924.10^3+591361=213444000000+924000+591361=213445515361

Calculons (2,05182)²

2,05182=251.10^-2+182.10^-5

D’où (2,05182)²=(251.10^-2+182.10^-5)²=(251.10^-2)²+2.251.10^-2.182.10^-5+(182.10^-5)²

=251².10^-4+2.251.182.10^-7+182².10^-10

Or 251²=63001

2.251.182=91364

182²=33124

D’où (2,05182)²=63001.10^-4+91364.10^-7+33124.10^-10=6,3001+0,0091364+0,0000033124

= 6,3092397124

Enfin,

Soit x réel :

x²-(x-2)(x+2)=x²-(x²-4)=4