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Les suites numériques |
 Impression facile
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| Matière |
Niveau |
Section |
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2Maths |
Terminale |
S |
| Chapitre |
Les suites numériques
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| Prestation |
Résolution d' un exercice complet ( 4-5 questions ou sous-questions) |
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| Enoncé |
Exercice 2: (Spécialité)
1. Calculer le PGCD de 4x4x4x4x4-1 et 4x4x4x4x4x4-1.
Soit u la suite numérique définie par :
u0 = 0 , u1 = 1 et pour tout tout entier naturel n , un+2 = 5un+1 - 4un .
2. Calculer les termes u2 , u3 et u4 de la suite u .
3. a) Montrer que la suite u vérifie , pour tout entier naturel n , un+1 = 4un + 1
b) Montrer que, pour tout entier naturel n , un est un entier naturel.
c) En déduire , pour tout entier naturel n , le PGCD de un et un+1 .
4. Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par Vn=Un+1/3
a) Montrer que v est une suite géométrique on déterminera la raison et le premier terme v0 .
b) Exprimer vn puis un en fonction de n .
c) Déterminer , pour tout entier naturel n , le PGCD de 4n+1 - 1 et de 4n -1
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Pistes |
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| J’ai déjà résolu la premièer ainsi que la deuxième question cependant je bloque dès le début de la troisième. |
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Réponse de notre équipe pédagogique :
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1)tu as dû trouver que pgcd(4^5-1;4^6-1)=1.
2)tu as dû trouver u2=5, u3=21, u4=85.
3)a)par récurrence :
* l’égalité un+1=4un + 1 est vraie pour n = 0
car u1 = 1 et 4u0 + 1 = 1.
* supposons que l’égalité un+1 = 4un + 1 soit vraie pour un certain entier n quelconque.
Montrons que un+2 = 4un+1 + 1:
d’une part un+2 = 5un+1 - 4un
= 5(4un + 1) - 4un
= 16un + 5.
d’autre part 4un+1 + 1 = 4(4un + 1) + 1
= 16un + 5.
On en déduit que un+2 = 4un+1 + 1.
* conclusion : pour tout entier n,un+1 = 4un + 1.
b)par récurrence :
* u0 = 0 donc u0 est un entier naturel.
* supposons que un est un entier naturel pour un certain entier n quelconque.
Montrons que un+1 est un entier naturel:
d’après 3)a), un+1 = 4un + 1.
Comme un est un entier naturel, 4un aussi et
4un + 1 aussi donc un+1 aussi.
* conclusion : pour tout entier n,un est un entier naturel.
c) on a donc deux entiers naturels, un et un+1, vérifiant un+1 = 4un + 1, c’est-à-dire
1 x un+1 - 4 x un = 1.
Comme 1 et -4 sont des entiers relatifs, la réciproque du Th de Bezout permet d’affirmer que un+1 et un sont premiers entre eux, et donc que leur pgcd est égal à 1.
4) Montrons que, pour tout entier n,
vn+1 = constante x vn:
vn+1 = un+1 + 1/3
= 4un + 1 + 1/3
= 4un + 4/3
= 4(un + 1/3)
= 4vn.
On en déduit que la suite (vn) est géométrique, de raison 4 et de premier terme v0 avec
v0 = u0 + 1/3 = 1/3.
b) Le cours sur les suites géométriques nous permet alors d’affirmer que, pour tout entier n,
vn = v0 x q^n
= (1/3)x 4^n.
Comme vn = un + 1/3, on a un = vn - 1/3 donc
un = (1/3)x 4^n - 1/3 d’où un = (1/3)(4^n - 1), et ceci pour tout entier n.
c) On a alors 4^n - 1 = 3un et, de même,
4^(n+1) - 1 = 3un+1.
Le pgcd de 4^n - 1 et de 4^(n+1) - 1 est donc celui de 3un et de 3un+1, qui est aussi, d’après le cours, celui de un et de un+1 ( il s’agit de la propriété suivante ; pgcd(ka;kb) = pgcd(a;b)).
Or, d’après 3)c), le pgcd de un et de un+1 est égal à 1.
On en déduit que le pgcd de 4^n - 1 et de
4^(n+1) - 1 est aussi égal à 1.
On remarque que la question 1) n’est rien d’autre que le cas particulier où n = 4.
J’espère avoir été clair.
Bonne chance pour ce que tu sais.
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