Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u,v). On considère le point A d’affixe 1 et, pour tout (théta)appartenant à [0;2pi], le point M d’affixe z=e puissance(ithéta). On désigne par P le point d’affixe 1+z et par Q le point d’affixe z².

1.A partir du point M, donner une construction géométrique du point P et une construction géométrique du point Q. Les points O,A,M,P et Q seront placés sur une même figure.

On a :

M d’affixe z
A d’affixe 1
P d’affixe 1+z

On a alors Abcisse(P)=Re(1+z)=1+Re(z)=1+Abcisse(M)

et Ordonnée(P)=Im(1+z)=Im(1)+Im(z)=Im(z)=Ordonnée(M)

P est donc l’image de M par la translation de vecteur OA.

On a : z²=(eiq)²=ei2q

D’où |z²|=1 et Argz²=2Argz

Q est donc un point du cercle de centre de O et de rayon OM, tel que AÔQ=2AÔM, soit AÔM+MÔQ=2AÔM

Enfin : AÔM=MÔQ. De plus OA=OM=OQ

Pour placer le point Q, il suffit de mesurer (au compas) AM et de reporter cette mesure pour trouver Q.

2.Déterminer l’ensemble des points P, pour théta appartenant à [0;2pi[. Tracer cet ensemble sur la figure précédente.

On a z+1-1=z. C’est à dire AP=OM

Si M décrit le cercle de centre O et de rayon 1, P décrit le cercle de centre A et de rayon 1.

3.Soit S le point d’affixe 1+z+z², où z désigne toujours l’affixe du point M. Construire S, en justifiant la construction.

S a pour affixe 1+z+z². L’affixe de S est donc la somme des affixes de P et Q.

Donc OPQS est un parallélogramme. Comme nous avons déjà les trois premiers points du parallélogramme (O,P,Q), S est l’intersection du cercle de centre P et de rayon OQ et du cercle de centre Q et de rayon OP.

4. Dans le cas où S est différent de 0, tracer la droite (OS). Quelle conjecture apparaît, relativement au point M ? Démontrer que le nombre (1+z+z²)/z est réel, quel que soit théta appartenant à [0;2pi[. Conclure sur la conjecture précédente.

On "voit" sur la figure que M est sur la droite (OS).

Multiplions (1+z+z²)/z par z_ (z barre), afin de faire disparaître le complexe au dénominateur :

(1+z+z²).z_/zz_

On a (1+z+z²).z_=(1+eiq+ei2q).ei-q=ei-q+1+eiq=1+2cosq, qui est réel.

Le dénominateur étant réel, (1+z+z²)/z est réel.

On en conclue que OS est colinéaire à OM, et donc que M appartient à (OS)