SOIT ABC UN TRIANGLE
ISOCELE EN A INSCRIT DANS UN CERCLE C.UNE DROITE PASSANT PAR A COUPE[BC] en D
ET C EN E.
1) MONTRER QUE ADB ET CDE SONT SEMBLABLES.
Deux
triangles sont semblables s’ils ont deux angles respectivement égaux.
Ici, les
angles BDA et EDC son égaux. De plus le angles AEC et CBA interceptent le
même arc AC : ils sont donc égaux.
Donc les
triangles (BDA) et (CDE) sont semblables.
2) ’’ ’’ CDE ET ABE ’’ ’’
Les angles BAE et BCE interceptent le même arc BE donc sont
égaux.
De plus les angles BDE et BCA interceptent le même arc BA
donc sont égaux or comme (ABC) est isocèle, les angles BCA et ABC sont
égaux. De plus, selon 1), les angles ABC et AEC sont égaux.
Donc les triangles (CDE) et (ABE) sont semblables.
3)EN DEDUIRE QUE AB AU CARRE = AD X AE
Une
propriété des triangles semblables est que les côtés opposés au mêmes
angles sont proportionnels.
Donc comme
(ABC) et (ABE) sont semblables (puisque tous les deux semblables à (CDE),
Angles :
BEA = ABD : donc AB/AD = k
D’où AB/AD
= AE/AB soit AB^2 = AD*AE
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