A,B et C sont les sommets d’un triangle équilatéral et sont aussi les centres
de trois cercles deux à deux tangents extérieurement. Quelle est l’aire du ’’triangle
curviligne’’ intérieur au triangle équilatéral?
Je suppose que le triangle curviligne (je ne connaissais pas ce terme) est
la partie de ABC qui n’appartient à aucun des cercles.
Calculons l’aire des portions de cercle intérieurs à ABC.
Chaque cercle a pour surface pi.(AB/2)²
Or Chaque angle du triangle est égal à 60° (triangle équilatéral)
soit 1/6. 360°
L’aire de chaque portion de cerle est donc : pi/6.(AB/2)²
L’aire totale des trois portions de cercle est enfin : 3.pi/6.AB²/2²=pi/8.AB²
Calculons l’aire du triangle :
Considérons H, base de la hauteur issue de A. On a : AB²=AH²+BH²=AH²+(AB/2)²
Soit AH²=3/4.AB²
Et AH=V3/2.AB
Et Aire(ABC)=AB.AH/2=V3/4.AB²
Au final, l’aire du triangle curviligne est :
V3/4.AB²-pi/8.AB²=1/4.(V3-pi/2).AB²
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