Exercice 1

Ou s’il faut tirer la racine carree de GH, je lui ajoute en ligne droite FG, qui est l’unite , et divisant FH en deux parties egales au point K,du centre K je tire le cercle FIH, puis elevant du point G une ligne droite jusques a I a angles droits sur FH, c’est GI la racine cherche.

1/Refaire la figure pour GH=9cm , verifier a la regle la validite de la construction.

je vous laisse faire...

2/Prouver que IG²+IG²=FH²-GH²-FG²

On a trois triangles rectangles. Le théorème de pythagore nous donne alors :

IF²+IH²=FH²

IG²+GH²=IH²

IG²+GF²=IF²

Soit, en additionnant les deux dernières lignes :

IG²+IG²+GH²+GF²=IH²+IF²

Soit IG²+IG²+GH²+GF²=FH²

Soit enfin IG²+IG²=FH²-GH²-GF²

3/Developper et reduire l’expression (x+1)²

On a (x+1)²=(x+1)(x+1)=x.x+x.1+1.x+1.1=x²+2x+1

4/On pose GH=x et FG=1; ecrire a l’aide des questions precedentes IG² en fonction de x et conclure.

On a 2IG²=FH²-GH²-GF²=(x+1)²-x²-1²

=x²+2x+1-x²-1

=2x

Soit IG²=x

Soit IG=Vx

On a bien IG=racine de x, soit IG = racine de GH.

Exercice 2

Deux cercles C et C’ de centre o et O’sont tangentes exterieurements en R; T est la tengente commune aux deux cercles en ce point R; D tangente commune aux 2 cercles: D est tangente à C en A et C’ en P. T et D se coupent en I. Prouvez à l’aide du theoreme de Pythagore que IR=IA et que IR=IP.Deduisez en que RAP est un triangle rectangle. (Refaire la figure avec des rayons de 3cm et 2cm.)

Par définition de la tangente,

• (O’P) est perpendiculaire à (IP)
• (O’R) est perpendiculaire à (IR)
• (OR) est perpendiculaire à (IR)
• (OA) est perpendiculaire à (IA)

On a donc 4 triangles rectangles : OAI (rect en A), OIR (rect en R), O’RI (rect en R) et O’IP (rect en P).

On écrit donc 4 fois le théorème de Pythagore :

• OA²+IA²=OI²
• OR²+RI²=OI²
• O’R²+IR²=O’I²
• O’P²+IP²=O’I²

Comme OR=OA et O’R =O’P (ce sont des rayons de cercles), on peut remplacer dans les expressions précédentes et on obtient :

• OA²+IA²=OI²
• OA²+RI²=OI²
• O’R²+IR²=O’I²
• O’R²+IP²=O’I²

Soit IA²=OI²-OA² et RI²=OI²-OA²

Donc IA²=RI² et IA=RI (car ces deux valeurs sont positives).

De même, IR=IP

Ainsi, IR=IA=IP. Donc I est le milieu de [AP]

Donc R est sur le cercle de centre I et de diamètre [AP]. Ceci nous prouve que RAP est rectangle en R.

Exercice 3 On considere des triangles definis par la longueur des 3 cotes

1/ Chasser l’intrus dans la liste suivante : (3,4,5) ; (5,12,13) ; (8,15,17) ; (20,21,29) ; (9,50,51) ; (9,40 ,41)

(9,50,51) est l’intrus. Un rapide calcul montre que tous les autres sont rectangles, et pas lui (car V(9²+50²)=50,8..)

2/ Le triangle (3,4,5) est rectangle . Existe- il d’autres triplets d’entiers consecutifs qui soient les mesures des longueurs des cotes d’un triangle rectangle ? ( Si x le plus grand cote de l’angle droit alors le plus petit vaudrait … et l’hypotenuse…….)

Si x est le plus grand côté de l’hypothénuse, alors la plus petit côté vaudrait x-1 et le plus grand x+1

Ainsi, on aurait : (x-1)²+x²=(x+1)²

Soit x²-2x+1+x²=x²+2x+1

Soit x²-4x=0

Soit x(x-4)=0

Ainsi, x ne peut valoir que 0 ou 4 (sinon, x(x-4) n’est pas nul). Or 0 est impossible, car à ce moment là, x-1 est négatif et une longueur ne peut pas être négative...

Exercice 4
Les lunules d’Hippocrate : La somme des aires des lunules construites sur les cotes de l’angle droit est egale a l’aire du triangle rectangle.

1/Construire les lunules pour AB=3cm et AC=5cm.

Vous l’avez fait. (à la règle et au compas)

2/On pose AB=X et AC =Y, calculer en fonction de X et de y l’aire des 3 demi-disques intervenant dans la construction et celle du triangle ABC.

L’aire du triangle est A(ABC)=b*h/2

Ici, b=x et h=y

Soit A(ABC)=xy/2

A(demi-cercle issu de [AB])=1/2.pi.r²

Ici, r=x/2 (x est le diamètre)

Soit A(demi-cercle issu de [AB])=1/2.pi.(x/2)²=1/2.pi.x²/4=1/8.pi.x²

De même, A(demi-cercle issu de [AC])=1/2.pi.(y/2)²=1/2.pi.y²/4=1/8.pi.y²

Enfin, BC=V(x²+y²) (théorème de Pythagore).

Donc A(demi-cercle issu de [BC])=1/2.pi.(V(x²+y²)/2)²=1/2.pi.V(x²+y²)²/4=1/8.pi.(x²+y²)

3/Calculer en fonction de X et de Y la difference entre l’aire du grand demi disque et celle du triangle. En deduire la propriete annonce.

On a A(demi-cercle issu de [BC])-A(ABC)=1/8.pi.(x²+y²)-xy/2=B

Il reste à calculer la différence entre les aires des deux petits demi-disques et B :

A(demi-cercle issu de [AC])+A(demi-cercle issu de [AB])-B=1/8.pi.y²+1/8.pi.x²-(1/8.pi.(x²+y²)-xy/2)=xy/2=A(ABC).

Ainsi, les lunules ont bien la même surface que le triangle rectangle.

A bientpôt,

Nicolas