Bonjour,

Voici les réponses aux questions qui vous sont posées :

I-

1- a- Le solide S est soumis à deux forces qui se compensent. Son poids (P=mg) et la tension du ressort (T=k|L-L0| ).
Si on suppose un allongement du ressort , L> L0 donc VectP+Vect T =Vect nul ,
soit P=T, mg= k (L-L0) , k=mg/(L-L0)

1-b- A.N : k=20,4 N/m.

2-a- Le solide S est soumis à son poids vect P, la réaction du coussin d’air vect R (vertical car le plan horizontal est sans frottement) et à la tension du fil vect T.
Si on prend un repère classique (O, i, j) on a vect P= - mg j ; vect R= + R j ; vect T= -k x i, en posant x=L-L0.

2-b- Le théorème du centre d’inertie appliqué à S (dans le référentiel terrestre supposé galiléen) permet d’écrire :
m.vect a = vect P + vect R + vect T. En projetant cette relation sur l’axe (Ox), on obtient : mx’’ = - k x ( car a est la dérivée seconde par rapport au temps de x).
On a donc : x’’=-k/m x.

2-c- La courbe donnée est une droite passant par l’origine. On peut donc dire que les grandeurs x’’ et x sont proportionnelles, avec un coefficient de proportionnalité négatif (x’’= alpha x)
Calculons le coefficient directeur alpha de cette droite en prenant deux points (0,0) et (0,025,-5) passant par cette droite : Alpha =(-5-0)/(0,025-0)=-200 (l’unité est : s^-2). On a donc x ’’= -200x. La comparaison avec l’équation du 2-b- donne : -k/m = -200 à k=200m=200x0,100=20,0 N/m.

2-d- Dérivons deux fois la fonction x par rapport au temps ( on notera x’=dx/dt et x’’=d²x/dt²). On a donc : x’=a.oméga.cos(oméga.t +Phi)
et x’’= -a oméga²sin(oméga.t+Phi)= - oméga² x.
La fonction x suit bien l’équation différentielle du 2-b, à condition de poser oméga² =k/m, soit oméga =racine(k/m) =14,1 rad/s.
La période propre T des oscillations est T=2 PI/oméga =2PI Racine (m/k) )=0,44 s.

3- Valeurs de k : 20,4 et 20,0 N/m. Ces valeurs sont proches (écart d’environ 2% dû aux incertitudes de mesure). Par la suite on pose k=20N/m.

II-

1-a- Le vecteur P part du centre d’inertie G du solide , est vertical vers le bas et a pour longueur 2,94 cm (0,98 N).
Le vecteur R part du centre de la surface de contact entre le solide et le coussin d’air, est vertical vers le haut et compense le poids (longueur : 2,94 cm) car il n’y a pas de mouvement selon l’axe (Oy).
Le vecteur T part du point d’attache entre le ressort et le solide S, est horizontal.
Au point A ( xA = -4 cm= -0,04m), T est dirigé vers O (vers la droite) et vaut T=k|xA|= 20x0,04=0,8 N, soit 2,4 cm de long.
Au point B (xB=+6 cm=+0,06m), T est dirigé vers O (vers la gauche) et vaut T=k|xB| =20x0,06=1,2N, soit 3,6 cm de long.

2-a- Le vecteur T n’est pas une force constante sur le déplacement AB, la relation utilisant le produit scalaire n’est donc pas valable.

2-b- Les vecteurs P et N ne travaillent pas car ils sont constamment perpendiculaires au déplacement AB;W(P)=W(R )=0 Joules.
Seul le vect T travaille. La relation de l’énoncé donne W(T)=0,5k(xA²-xB²)=0,5x20x(16.10^-4 -36.10^-4)= - 0,02 J.

3-a- Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique du solide S entre les points A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées à ce solide pendant ce trajet.

3-b- ½ mvB²-1/2 mvA²=W(P)+W(R )+W(T) =W(T)= 0,5 k (xA²-xB²), d’où vA= Racine (vB²-k/m(xA²-xB²) = 0,98 m/s.

3-c- La relation qui lie l’énergie potentielle élastique d’un ressort à son allongement x est : Ep=1/2 .k.x².

3-d- L’énergie mécanique est la somme de l’énergie potentielle élastique et de l’énergie cinétique. Ici l’énergie mécanique est constante (syst conservatif) car il n’y a pas de frottements. On peut calculer l’énergie mécanique indifféremment au point A ou au point B. Em=1/2 k xA²+1/2 m vA²=1/2 k xB²+1/2 m vB²=0,064 J.

3-e- L’amplitude du mouvement est la valeur maximale positive X de x acquise. La valeur est maximale pour x quand la valeur de la vitesse est nulle . En ce point particulier ( qu’on appellera le point M), on a xM=X et vM=0 m/s. l’énergie mécanique au point M vaut toujours 0,064 J. On écrit donc Em=1/2 k X²+1/2 m 0²=1/2 k X² d’où X=Racine (2 Em/k)=Racine (2x0,064/20)=0,08m. L’amplitude du mouvement est donc de 8 cm par rapport à la position d’équilibre.

Bonsoir ( N’oubliez pas de mettre une note )

Marc