)On lance une petite pierre de masse m=100g verticalement vers le haut.La
pierre part d’un point 0 pris comme origine des altitudes avec une vitesse
initiale V0=15m.s-1 (on néglige l’action de l’air.)
a)Calculer l’altitude max. atteinte
Système étudié : la pierre de masse m
Les seules forces extérieures sont le poids : puisque l’action de l’air sur
la pierre est négligée.
Appliquons la Relation fondamental de la dynamique à la pierre sur l’axe Oz
des altitudes :
dv/dt = -m.g <=> v = -m.g.t +V0 = -mgt +15
Soit z = -0.5.m.g.t^2 + 15t + z0 = -0.5.m.g.t^2 +15 t
On obtient Zmax pour v = 0 soit t = 15/(m.g)
Donc Zmax = 0.5 15^2 / (m.g)
b)Caluler la vitesse de la pierre lorsqu’elle repasse par le point 0
pour z=0 , -0.5.m.g.t^2 + 15t =0 ie t(-m.g.t/2+15) =0 Or on veut que z
repasse à 0, soit à t<>0 : t=30/ (m.g)
Alors v = -15 m.s-1
II)Un tremplin de saut à ski est étbli sur le flanc d’une montagne.La
longueur de la piste est Lab=250m.L’altitude du point A est Za=2120m et Zb=1990m
Le skieur s’élance de A avec une vitesse négligeable .On néglige tous les
frottements et on assimile le mvmt du skieur,de masse totale,M=80kg ,a celui
d’un objet ponctuel.On cherche la vitesse en B
1)quelle est l’origine des altitudes??semble-t-elle adaptée??
L’origine des altitudes est la surface de la mer, soir ici 2120 m en-dessous
de A : on peut prendre B comme origine des altitudes, les calculs seront
facilités (zA =30m, zB=0m)
2)Déterminer la vitesse acquise par le skieur en B
Bilan des forces sur le système {skieur} de masse M assimilable à un point
G :
Le poids : -Mg (vecteur uz) et la réaction de la piste qui sera
perpendiculaire à celle-ci puisque les frottements sont négligés.
Si l’on projette sur l’axe de la piste dans le sens descendant de la piste
pour x, dans ce cas, la projection du poids vaut Mg/(cos alpha) où alpha est
l’angle au sommet
Cos(alpha) vaut 30/250
Realtion fondamentale de la dynamique parallèlement à la piste : axe des x
positif vers le bas de la piste
dv/dt=Mg/(cos alpha) = Mg*250/30
d’où par intégration v= Mgt/cos alpha + V0 avec V0 négligeable soit
v = 250.Mgt/30
et x = 0 +Mg(t^2)*250/30.
En B, xB = racine carrée (250^2-30^2) par Pythagore
Donc le skieur atteint B au bout du temps : t = racine carrée
(30.xB/(250Mg))
Alors vB = racine carrée (250.M.g.t.xB/30)
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